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高中数学几何解题技巧之"数""形"结合途径分析

发表时间：2020/7/29 来源：《教学与研究》2020年7月作者：陈建勇

[导读] 在升入高中后，各学科的难度多少都有点增加，尤其是数学，是孩子们感受最明显的一门功课。

福建省德化第二中学陈建勇 362500

摘要：在升入高中后，各学科的难度多少都有点增加，尤其是数学，是孩子们感受最明显的一门功课。而数学的知识点里最让孩子感到头疼的就是几何，除了要有大量的公式要背，还要进行更多的练习才能让自己的分数得以提升。而采用数形结合的学习方式则可有效解决数学几何题,提升学习效果.一般来讲,几何学得好的孩子在理解力方面都比较厉害，在想象力比较强的情况下，还对很多种解题技巧也有所掌握。学习这一知识的技巧就显得很重要了。
关键词：高中数学；数形结合；解题方法
        一、引言
        数学是一门很严谨的学科，它存在于我们生活的方方面面，为我们学习和研究科学技术提供了基础。数学的严谨性要求我们在学习和运用过程中必须注重每一个细节，用更有效、更科学、更精密的教学方法来学习。在高中数学的教学过程中，有很多数学思想需要我们去学习和发展。而数形结合思想则是诸多方法中，最直观、最简洁、最有效的方法。
        二、“数”“形”结合解题法的理论概述
        （一）方法释义
        数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位。
        （二）解题思路
        数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助。
        三、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析
        （一）解析几何中圆类问题
        实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外,但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分.这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。这是最基本的用“数”“形”结合方式解答圆类问题。为更为详尽的说明，下文将针对对“数”“形”结合法速解解析几何圆类问题作出例题说明：　　
        例题1：已知曲线y=1+√（4-x2）与直线y=k（x-2）+4交于两个不同的点，求实数k的取值范围。

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解析：将曲线y=1+√（4-x2）变形，得x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），可知曲线是以点A（0，1）为圆心，2为半径的圆，但是值域y要大于1，因此是上半圆；　　
        直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4）:当直线绕点B按顺时针旋转至直线与圆相切，当直线与圆的一个交点在弧线MT之间都满足题目要求，符合题意:而交点M在直线y=1上，因此可算出M点的坐标，即M（-2，1）；　　
直线BM可用点斜式法计算出来，例题1kMB=3/4，即点M到点A之间的距离等于半径；　　
列等式∣1+2k-4∣/√（1+k2），可解得k=5/12。因此，k∈（5/12，3/4]。
        （二）解析几何不等式问题
        运用数形结合法解决解析几何中的不等式问题主要是将原不等式化解，通常能化解为某个曲线方程，然后将曲线方程在数轴上表示，注意计算过程中值域与定义域，然后几个图形的交集就是该不等式的解集。
        （三）函数解题中数形结合思想的运用
        1.通过图形构造解读不等式的解集、方程的根以及参数的范围　　
        2.建立数形结合模型，处理量与量之间的变化关系　　
        函数的性质在高考中占有较高比重，其在函数知识的学习中也是一个十分重要的知识点。然而学生对于函数的性质即函数中量与量之间的关系一直视为一大难题，之所以形成这种局面是因为这方面的知识内容较为抽象，理解起来存在一定难度。为了克服这种不利的教学现状，教师可以将数形结合的教学方法融入日常教学活动中，借助直观形象的图形达到帮助学生理解知识，鼓励学生使用数形结合思想处理相关数学问题。如题：“已知方程x2-4x+3=m有4个根,求实数m的取值范围"此题并不涉及方程根的具体值,只求根的个数,而求方程根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决，即求解函数y=x2-4x+3与函数y=m图象的交点的个数.如此一来,原本抽象的数量变化关系就变得十分具体，数形模型的建立就是准确快速解答的前提。
        四、应用数形结合提高学生对数学知识的记忆
       “记忆是智慧的仓库”人们知识经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力.高中中的数学知识是基础性知识,需要牢固地记忆并掌握这些基础知识,在此基础上做到灵活应用,在整个教学过程中这二者是相辅相成的,记忆正是掌握知识的基本手段记忆的过程也就是知识积累的过程有助于知识的深化.而且知识水平的提高更要以记忆为前提,有的学生面对一些数学问题束手无策,找不到解题的思路与方法,这与脑子里记忆的数学知识太少有关,只有对数学的基础知识记忆牢固,才能做到温故而知新,应用时才能熟能生巧,从而进一步发展数学思维,提高数学能力.
        总结：数学解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略的知识在创造性思维的形成过程中起到十分关键的作用，其不仅有助于扎实、牢固地掌握数学基础知识，同时也可以借助数学知识这一载体，有效掌握正确的数学思想方法，体会数学知识的应用价值，进而树立正确的数学观与数学创新意识。
参考文献：
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[2]仲周.浅谈数形结合方法在高中数学教学中的运用[J].好家长，2015. 　　
[3]王英.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].高考：综合版，2015（04）. 　　
[4]陈大伟.高中数学教学中数形结合法的运用探讨[J].中国校外教育，2015（S1）.