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“PA + k·PB”型的最值问题之“胡不归”何以归“阿氏圆”如何圆

发表时间：2020/7/29 来源：《中小学教育》2020年8月1期作者：段文静

[导读]

段文静天津广播影视职业学院天津 300112
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-084-02

        【问题背景】
        “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点，如2019年天津中考的第25题的第3问考察到“a·PA+b·PB”的形式，可用提公因式的方法将“a·PA+b·PB”的形式转化为“PA+k·PB”模型。于是，我们可以把这类问题分为以下几类：
        当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以通过作轴对称来处理。
        当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，可借助三角函数值或相似的相关内容进行思路转换。
        此类问题除上述k值不同的分类外，还需注意动点P轨迹不同带来的分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
        【关键词】胡不归；阿氏圆；最值问题；数学模型
        【知识储备】
        线段最值问题常用原理：
        ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
        ②两点间线段最短；
        ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
        一、“胡不归”模型
        1、问题初探
        点P在直线上运动，即“胡不归”问题
        如图1所示，已知sin∠MBN=k，点P为∠MBN一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”的最小时，点P的位置如何确定？
        分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的长度，可以通过转化的思路找到与“k·PB”对应相等的线段，具体方式为过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,此时，“PA+k·PB”的最小值转化为“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小，进一步计算出线段AQ即为所求的最小值。
        图1
        二、“阿氏圆”模型
        1、问题初探
        点P在圆上运动，即“阿氏圆”问题，
        如图2，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB。连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
        图2
        分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，在线段OB上截取OC使OC=k·r，易证△BPO∽△PCO,整理可得k·PB=PC，进而“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小，进一步计算出线段AC即为所求的最小值。

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        三、模型对比
        1.“胡不归”构造某角的正弦值等于小于1的系数
        核心思路“起点构造所需角）——过终点作所构造角的垂线——利用垂线段最短解决问题”
        2.“阿氏圆”构造共边共角型相似
        核心思路“利用相似得出半径的平方=原有线段*构造线段”
        四、对接中考真题
        1、胡不归问题（2019.天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，
        b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点.
        （1）（2）略
        （3）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值.
        解：（1）（2）略。
        （3）如图3∵点Q（b+，yQ）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
        ∴yQ＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，
        可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
        ∵AM+2QM＝2（AM+QM），
        ∴可取点N（0，1），
        如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，
        由∠GAM＝45°，得AM＝GM，
        则此时点M满足题意，
        过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
        在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，
        ∴QH＝MH，QM＝MH，
        ∵点M（m，0），
        ∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，
        解得，m＝﹣，
        ∵AM+2QM＝，
        ∴ [（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，
        ∴b＝4.
        如图3
        2.、阿氏圆问题（2019.日照）如图4，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为.
        （1）（2）略
        （3）若点是半径为2的⊙OB上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.
        解：（1）（2）略
        （3）如图4，在轴上取点，连接、
        ∴
        ∴，
        ∴当点、、在同一直线上时，最小
        的最小值为
        图4
        五、小结
        综上所述，“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k·PB”（k≠1的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将k·PB这条线段的长度转化为某条具体线段PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最短距离。
        不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某角的正弦值等于k(如k值＞1则要先提取k再去构造某角的正弦值)将k倍线段转化，再利用“垂线段最短”解决问题；
“阿氏圆”问题则需构造共边共角型相似问题，始终抓住点在圆上这个重要信息，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如大于1则将线段扩大相同的倍数取点，k值如小于1则将线段缩小相同的倍数取点利用，再“两点之间线段最短”解决问题。
参考文献
[1]蔡国雄.初中几何“PA+k·PB”型的最值问题[J].数学学习与研究,2019(03).
[2]仇建新.构建“数学模型”,求解“最小值”问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2020(06).