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复合函数零点问题探究

发表时间：2020/7/29 来源：《中小学教育》2020年8月1期作者：廖助会

[导读] 复合函数零点问题是高考函数题目中经常出现的问题之一，也是高中数学教学中的一个难点。文章通过运用数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法，对复合函数零点问题进行探究，以期对学生的高考备考提供帮助。

廖助会云南省腾冲市第一中学
【摘要】复合函数零点问题是高考函数题目中经常出现的问题之一，也是高中数学教学中的一个难点。文章通过运用数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法，对复合函数零点问题进行探究，以期对学生的高考备考提供帮助。
【关键词】复合函数；函数零点
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2020）08-127-02

        复合函数零点问题具有综合性强、难度大等特点，它全面考察学生对函数与方程思想、分类思想、化归思想和数形结合思想等的综合运用能力。文章结合典型例题对复合函数零点问题进行探究。
        一.求复合函数的零点
        【例1】已知函数，求函数的零点。
        解：由得或.
        ∴或，故的零点为：27和.
        【例2】已知函数，有3个不同的零点，求的值。
        解：作出的图象，如图1所示.
        令，则化为.
        由图1可知：当时，方程没有实数根；
        当时，方程有2个不同的实数根；
        当时，方程有3个不同的实数根.
        ∵有3个零点，∴必为的根，另一根为0或负数.
        ∴，解得，故=5.
        【小结】复合函数零点的求法
        （1）解方程法：求方程的实数根；
        （2）图象法：对于不能用公式法求根的方程或不易求得实数根的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
        二.求复合函数零点的个数
        【例3】已知函数，。求函数零点的个数。
        解：由得，故.
        ∴有1个零点.
        【例4】已知函数，求函数的零点个数。

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        解：作出函数的图象，如图2所示.
        令，则化为.
        ∵方程有三解，
        不妨设、、，
        当时，方程有3个不同的实数根；
        当时，方程有3个不同的实数根；
        当时，方程有3个不同的实数根.
        ∴函数共有9个零点.
        【小结】复合函数零点个数的判断方法：
        （1）直接法：直接求出函数的零点；
        （2）数形结合法：求复合函数零点的个数，可转化为求方程的实数根的个数。令，则，分别画出函数和函数的图象。分两层来分析：第一层是结合函数的图象，得到关于的方程的根的个数；第二层是结合第一层的值，观察函数的图象，有几个值使得成立，并求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数。
        三.含有参数的复合函数零点问题
        【例5】已知函数是定义在上的偶函数，当时，
        。设函数，讨论的零点个数。
        解：作出函数的图象，如图3所示.
        由得或
        由图3知：方程有4个不同的实数根.
        当时，方程没有实数根；
        当时，方程有1个实数根；
        当时，方程有2个不同的实数根；
        当时，方程有4个不同的实数根.
        综上，当时，有4个零点；
        当时，有5个零点；
        当时，有6个零点；
        当时，有8个零点.
        小结
        根据复合函数零点的情况求参数的常用方法
        （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，借助分类讨论、分离参数法等方法解不等式，从而确定参数的范围；
        （2）数形结合法：先对函数解析式进行变形，画出函数图象，再结合图形求解出参数的范围。
        复合函数零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题时先画出内层函数和外层函数的函数图象，再根据题设条件，结合函数图象从外向内或从内向外依次求解。
参考文献
[1]邹生书.利用函数图象解决复合函数的零点问题[J].高中数理化.
[2]王跃.复合函数零点个数的探究[J].中学数学教学.2016（3）：31-32.