【摘要】
20世纪80年代，美国数学家杜宾斯基基于他对高等数学思维的研究，提出了有关数学概念学习的APOS理论。该理论指出学生在数学学习的心理建构过程中，一定要在自身已有知识、经验的基础上，主动地建构新知识的意义，才能达到“理解”。这一心理建构过程包括活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段。在APOS理论指导下，笔者对高二《抛物线及其方程》这一课进行了教学。
【关键字】：APOS 数学概念教学 抛物线及其方程
APOS理论是一种具有数学学科特色的建构主义理论，既注重学生的直接经验，又注重学生的心理建构，对学习者数学学习过程中的心理建构过程进行了描述与划分。该理论指出学生在数学学习的心理建构过程中，一定要在自身已有知识、经验的基础上，主动地建构新知识的意义，才能达到“理解”。这一心理建构过程包括活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段。以APOS理论为指导，笔者对《抛物线及其方程》一课进行了教学，现将教学过程摘录如下：
1.活动（或操作）阶段（Action——A）
教材中设计的活动是通过三角板、直尺和细绳画抛物线，从而引出抛物线的定义。考虑到这人活动操作起来较为困难，笔者选择了另外一个操作性更强的活动。活动过程如下：
【学生活动】
活动工具：白纸，圆规，直尺，笔
活动过程：
（1）在纸上画出一根直线，在直线外任意位置点一点；
（2）作圆，使圆过点，且与直线相切，这样的圆能作多少个？
（3）将所作的圆的圆心用平滑的曲线相连，观察曲线的形状。
并针对该活动提出了以下思考问题：
（1）这些圆的圆心有什么共同特征？
（2）若点在直线上，其余要求不变，画出的圆圆心有什么特点？
该活动可操作性强，学生表现出了很大的兴趣和很高的积极性，活动的完成度很高。学生基本上能通过这个活动作出一条图形比较规范的抛物线（如下图1）。
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活动的目的主要在于从中总结出抛物线的定义。在思考问题中，笔者通过引导学生观察抛物线上的点（即圆的圆心）的特征，总结出了抛物线上点的共性，进而反推出出抛物线的定义。
抛物线定义中要求焦点不能在准线上，教材中并没有对此作出解释，因此很多学生对这一要求的认识并不深刻。在思考问题中，笔者提出了问题2，也通过活动让学生观察此时得到的图形，学生也通过实际动手作图（如图2），得出了相应的结论，对定义中的这一要求有了明确的理解。
APOS理论中，“活动”是指学习的个体通过一步步外显性的指令去变换一个客观的数学对象。这是学生理解概念的一个必要条件，要通过活动，让学生亲身体验、感知问题的直观背景以及与现实生活之间的联系，在活动中产生对问题和概念的思考。这一阶段中，学生像数学家一样，投入到概念的生成中去，通过活动体会知识的发生与发展过程，与此同时，在这个过程中培养自己的数学探究能力的抽象概括能力。
本节课中，通过这一系列的实际动手操作活动，学生对抛物线的定义有了深刻的理解，而不仅仅停留在对概念的记忆与背诵阶段。通过后续的教学，笔者发现，学生在对抛物线的定义及要点的理解中，基本没有出过差错。
2.过程阶段（Process——P）
这一阶段，要将学生的思维从实际、客观、具体的数学对象提炼、上升到抽象的数学思维。学生要摆脱对图形的依赖，在头脑中完成对数学学习对象的内化、整合。在本堂课中，笔者要求学生在自己所作的抛物线中，建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程。在确定抛物线方程的过程中，完成对抛物线的内化。
这一过程中，笔者发现学生思维的发散性及多样性。
如有一位同学，由于选用的变量与教材不一致，得到的方程也有所变化（如图3）：
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还有一位同学则由于所建的坐标系与教材不同，得到的方程也与标准方程不一致（如图4）
也有同学因为对抛物线特征理解不够深刻，出现了一些小错误：
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通过这一过程，笔者更加深刻地体会到，学生是一个个生动的个体，思维方式灵活多样，花开百朵，各表一枝，有许多可能是我们作为老师都想不到的。在教学中，要多多发现，多多引导，经常鼓励，这对培养学生良好的思维习惯大有裨益。
在求出了抛物线的一个标准方程后，笔者提出问题：
“以上建系方法中，我们所得到的抛物线开口是向右的。除了以上建系方法，还有没有别的建系方法？”
同时在实物投影仪中将抛物线进行旋转，改变方向，启发学生抛物线的开口方向可以有多种情况，引导学生在不同的坐标系中确定抛物线的方程。
学生在完成了开口向右的抛物线方程的求解后，很快完成了其余开口方向的抛物线的方程。
在这一阶段，学生通过对抛物线进行多次重复并熟悉之后，在头脑中对所经历的活动不断地进行描述和反思，将其内化、整合成“过程”这一心理结构。经过这一阶段，学生不需要再通过回忆作图方法来对抛物线进行理解，而是直接对抛物线进行操作。
3.对象阶段（Object——O）
通过前面的抽象过程，学生对抛物线的概念和方程都有了深刻的理解，在这一阶段，学生需要对抛物线赋予形式化的符号定义，使其精确化，成为一个具体的对象，在以后的学习中，以此为对象去进行新的活动。
因此，在这一阶段中，笔者引导学生脱离抛物线的图形，直接对抛物线的方程进行操作。这一过程主要通过练习来完成。
例1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出它们的草图.
（1）； （2）； （3）； （4）.
例2. 根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1）焦点为；
（2）准线为；
（3）焦点到准线的距离为4；
（4）过点；
（5）焦点在直线上.
例3. 抛物线的焦点坐标是 ；准线方程是 ；
通过前两个阶段的充分思考和学习后，学生在这一过程中没有遇到什么问题，基本上能达到速问速答。
4.图式阶段（Scheme——S）
由于图式的建立需要学习者将相关的知识联系起来，组成知识网络，这是一个漫长的积累过程，它不仅受前三个建构阶段的影响，也受学习者原有知识的影响，因此在课时的教学中，只能促进学生建立小的图式，以便将其纳入到更大的图式中去。数学知识有它的体系，这一体系的建立需要时间让学生进行充分的思考、多次的反复。这一过程要结合后续课程来不断完成，不可操之过急。
通过这堂课，笔者有一些心得体会。教师的课堂教学一定要从学习者的角度出发，根据学习者学习的心理过程，相应地设计各阶段的教与学活动，引导学生充分完成心理建构。这样才能让学生对所学知识有深刻的理解。APOS理论是建构主义的学习理论，它始终关注学习者的活动和数学学习的心理建构水平，教师在进行教学时，要充分尊重学生的主体地位，要遵循学生的认知发展规律，循序渐进地安排教学，使学生在APOS理论中的每一阶段都能充分体验、充分学习。
同时，对于应用APOS理论指导课堂教学，也有自己的理解：
（1）“活动”阶段中，活动可以是外显的，也可以是内隐的，活动要能符合学生的认知水平，不能太高也不能太低，活动不能流于形式，也不能耗时太长，活动时间短，学生来不及仔细体会其中蕴含的数学知识，时间太长学生易觉得乏味。其次，所进行的活动要能体现数学知识产生的合理性与必要性，最好以生活中的实际问题为依据，使学生体会到数学知识与生活息息相关。再者，学生要能够通过活动对所学知识的实质有初步的体会，为接下来的反思总结提供素材。
（2）“过程”阶段中，教师要引导学生对所操作的活动进行反思，要加强师生互动或生生互动，引导学生将反思的内容和结果表达出来，只有学生将它们表达出来，教师才能判断学生的反思是否正确，并对其进行点评。
（3） “对象”中，教师要对知识进行进一步的挖掘，对概念进行更深层次的研究，将符号语言抽象成形式化语言，以促进学生对所学知识形成整体的认识，促进知识整体的建构。可以设置相应的练习，通过练习使学生对概念中所蕴含的过程不断重复、不断熟练，直到熟悉，达到自动化的程度，或者设置变式练习，促进学生多方面理解所学内容。
（4）“图式”阶段教学设计策略
“图式”阶段可设置一些综合练习，促进知识在学生头脑中的压缩和解压缩，通过对知识的综合应用，将所学知识与其他相关知识结合，以构建出新图式。教师要带领学生将所学新知识与先前的旧知识联系起来，从所学新知识的角度去分析原来的知识，促进它们的融合。另外，教师还要组织学生对所学的知识进行小结，将其梳理，使其更有条理，在这个过程中，可以利用概念图等工具，将知识联结成网。
本文系江西省教育科学“十三五"规划2019年度普通类一般课题
课题编号19PTYB172