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化归思想在高中数学中的应用

发表时间：2020/8/3 来源：《中小学教育》2020年8月2期作者：廖助会

[导读] 化归思想是高中数学思想中最基本的思想之一，它贯穿于高中数学全部内容，统领着众多的数学思想方法，符合高中学生的思维特点。化归思想不仅是高中数学的重要思想，而且也是高考的考查重点，在历年高考试题中占有一定的比重。

廖助会云南省腾冲市第一中学
【摘要】化归思想是高中数学思想中最基本的思想之一，它贯穿于高中数学全部内容，统领着众多的数学思想方法，符合高中学生的思维特点。化归思想不仅是高中数学的重要思想，而且也是高考的考查重点，在历年高考试题中占有一定的比重。
【关键词】化归；化归思想；高中数学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）08-060-02

        一．化归思想的概念
        “化归”是转化与归结的总称。化归思想是：在解决数学问题时，把待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决的问题或已有固定解决程序问题，通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。
        二．化归的一般原则
        有效地实现化归一般应遵循简单化原则、和谐统一性原则、具体化原则、标准形式化原则和低层次化原则。
        三．常用的几种转化方法
        (1) 通过一般化或特殊化实现化归。
        例如：已知A、B是椭圆C：上关于原点O对称的两个点，P、M、N是椭圆C上异于A、B的点，且∥、∥，求的面积。
        分析：椭圆C上关于原点对称的两点有无数对，可向特殊化的方向进行化归.取A、B是椭圆C的左、右端点，P是上端点，设点M在第一象限，则由∥、∥得M、N关于轴对称 .易得直线的方程：，则直线的方程，代入椭圆C的方程可得.所以.
        (2)通过分解与组合实现化归。
        例如：设数列的通项公式，求的前项和。
        分析：把的通项公式分解成两个数列与的和，数列的前项和每两项为一组，可转化为.
        (3)选择适当的映射实现化归。
        例如：已知实数满足，求的取值范围。
        分析：在转化的过程中，选取了映射实现化归，
        则原题转化为：已知，求的取值范围。
        (4)通过语义转换实现化归。例如，可以表示圆心为原点，半径为1的圆的方程；可以表示在平面直角坐标系中，点与原点的距离为1；也可以表示实数的平方和为1。
        四．例题解析
        【例1】已知，求证：
        析：该不等式含有两个变元，根据化归的低层次化原则可以通过减少变元个数的方法，把不等式问题转化为二次函数问题（是自变量，是参数的二次函数）。对于二次函数，化归为标准形式，利用判别式就可以解答。

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        证明：要证，
        只需证，
        即证.
        令，
        ∵，∴.故原命题成立.
        注：解决该题的过程中，“不等式问题转化为二次函数问题”遵循了简单化原则，“二次函数标准化”遵循了标准形式化原则，“两个变元转化为一个变元”遵循了低层次化原则。
        【例2】已知函数满足，若函数与图象的交点为，，……，，则=       。
        析：函数的图象关于点（0,1）对称，可以先把函数特殊化为求解出结果，再由特殊情况推广到一般情况。
        解：∵，∴的图象关于点对称；
        函数的图象关于点对称.
        不妨设，则与的交点为、,此时.
        故、，
        所以，
        即有两个交点时，所求结果为2.故有m个交点时，所求结果为m.
        【例3】若对任意正实数，恒成立，求实数m的取值范围。
        析：本题考查含参数不等式的恒成立问题，难点在于有两个变元，通过两边同时除以，把问题转化为有一个变元的含参数不等式的恒成立问题。
        解：∵，∴
        ∴
        令，则
        令，则
        ∵在上单调递增，且
        ∴在上单调递减，在上单调递增
        ∴，∴，故
        【例4】已知四棱锥中，底面是矩形，，，，，，点M在线段BC上。当最小时，求异面直线与所成角的余弦值。
        析：这是一个立体几何问题，要使最小，根据化归的低层次化原则，把空间问题转化为平面问题。把底面沿剪开，使侧面与底面展开为一个平面。连接，交于点M，则最小。
        要求与所成角的余弦值，作出与所成角。根据化归的和谐统一性原则作∥，交于，则即为异面直线与所成角。在中，求出的余弦值即可。这样，三维立体几何问题就转化为二维平面几何问题。
        运用化归思想进行解题，可以化难为易、化生为熟、化繁为简，化归时尽量是等价转化。在解题过程中，重视一题多解与一题多变，提高思维的灵活性和化归能力。
参考文献：
[1] 马波.中学数学解题研究[M].北京：北京师范大学出版社，2011:17-31.
[2] 任爽.中学数学中化归思想的研究[D].天津：天津师范大学，2009.