摘要：本文通过对余数、母质数、等差数列的余数的均布性等的论述及论证，推导出任意大偶数的哥猜数个数公式，并简化成其构造公式，然后用数学归纳法证明其最小值，进而论证哥猜公式的最小值符合哥猜的要求，而最终达到证明哥猜的目的。
关键词：余数 、母质数 、哥猜数 、哥猜数公式 、余数的均布性 、数学归纳法 、哥猜数构造公式。注：表示B除以C所得的余数。
本论文共分八个部分：一，关于哥猜。二，母质数。三，和差积幂的余数的运算法则。四，哥猜数。五，等差数列的余数的均布性。六，哥猜数个数公式。七，哥猜数公式的构造公式，并用数学归纳法证明其最小值。八，根据构造公式的构造过程论证其最小值符合哥猜要求，从而最终完成对哥猜的证明。
一
哥德巴赫猜想，俗称哥猜，是数学上一个古老而永恒的话题。它的主要内容是，任何一个大偶数都可以写成两个质数的和的形式。哥猜不能用传统的方法证明，至少现在不行，我认为。凡是涉及自然数的问题，人们总会想到数学归纳法，但哥才不行，至少不能直接应用。因为质数没有通项公式。我已经论证了质数的不可解析性，即任何一个整式都不可以完全表示质数，更不用说全部质数了。但在此我不想详述此问题。
二
母质数的概念。质数的判断，根据其定义，要用从2到这个数减1的差去除这个数，所得余数均不为0，这个数才为质数。我从一本很古老的数学启蒙书《有趣的数学》上受到启发，发现只要用从2到这个数的算术平方根内的最大质数去除此数，所得余数均不为0，这个数就为质数。我把一个数的算术平方根以内的质数称为这个数的母质数，并把母质数分为两类，第一类母质数是这个数的小质因数，即这个数的小于等于它的平方根的质因数;第二类母质数是除去第一类母质数的母质数，即这些数除这个数所得余数均不为0的质数。举例说明，如100，内的质数是2,3,5,7.所以100的母质数是2,3,5,7.其中第一类母质数是2,5.第二类母质数是3,7.
三
余数的运算法则。先给出一个定理：和差积幂的余数等于余数的和差积幂再求余。此定理的证明极其简单，此处从略。我在此着重说明一下和与差的余数的余数的运算法则，因为下文用得到。设,,即/=,/=,则/=/=/=/+/.为简便起见，设余数的和小于等号另一侧所得的余数。对于差的余数也一样，只不过若余数的差为负，则加上除数，才是其正确值。设2n=a+b,z为2n的一个母质数，则/=/+/,那么/=/-/.此公式后文用得到.
四
2n的哥猜数的概念。设2n=a+b,a和b均为质数。n为自然数，n3.则a,b就称为2n的哥猜数。也就是2n内的符合哥猜的质数。重要说明,这里说的哥猜数,不包括2n的母质数。当然也就不包括与其配对的质数.现在讨论a,b与2n的关系。设z为2n的任一母质数，则/=/+/,即/= /-/,由于b为质，且/0,所以/ /。,同理/。这就是a,b与2n的关系。即a,b分别被2n的同一个母质数除所得余数均与2n被这个数除所得到的余数不同。如上所述，这里除去a,b为2n的母质数的情况。再从另一个角度说明一下。设2n=a+b,则b=2n-a,若b为合，则b的小质因数一定是2n的母质数中的一个或几个。即2n与a被2n的同一个母质数除，所得余数一定相等。反之，若b为质，则它们的余数肯定不同。若相同，则与b为质矛盾。所以上述结论正确。有了2n的哥猜数的条件，哥猜的证明就变得简单些了。也就是在2n内找一些质数，它们被2n的任意同一母质数除，所得余数均与2n的不同。只要在2n内找出一对哥猜数，哥猜就成立。但考虑到1＋（2n－1）的情况，此时（2n－1）为质。这对也可能符合要求，但肯定不是。故要将2n的哥猜数对数增加到2对。即2n的哥猜数个数要4.还有一个问题要说明一下，由于a，b的地位均等，所以哥猜数的个数是成对出现的，即若a是哥猜数，则b＝2n－a也一定是哥猜数，这是也由于差的余数定理决定的。此外，当n为质时，a＝b＝n，这时用后面的哥猜数个数公式算出的数是奇数，这显然是正确的。
五
等差数列的余数的均布性。它的具体内容是：等差数列的各项被与其公差互质的数除，所得余数相同的项仍为等差数列，其公差为原数列公差与除数的积。并且所得余数是连续的循环的。简单证明如下：设有等差数列，h为公差，被与h互质的i除，令x＞y，且／＝／，再令，（１） ，（２） （１）－（２）得（x－y）＝，由于i，h互质，所以，即x－y＝ki，x＝y＋ki．则＋xh＝＋yh＋ｋih．k属于自然数。k1．所以上述结论成立。这说明余数相同的一组数仍在原数列内，且是一个新的等差数列。在原数列内，每隔（i－1）个数就有一个是新数列的数，所以新数列的项的个数是原数列的．这是以后推导2n的哥猜数个数公式的重要基础。i为除数。
六
现在推导2n的哥猜数个数公式。设2n的第1类母质数为,则在2n内被除余数为1个数的数的个数是,同样，在个数内,被除余数为1个数的数的个数为以此类推，则2n被其所有母质数除余数为1组数的数的个数为…….其中，,.为2n的第2类母质数。上述公式均是根据等差数列的余数的均布性推出的。而在2n的母质数的连乘积内，余数与2n的被其母质数除所得余数均不同且不为0的余数组数共有()×(-1)×……×( -1)×( -2）×（-2）×……×(-2)组。所以，在2n内，被2n的任意母质数除所得余数与2n被同一母质数除所得的余数均不同且不为0的数共有N=2n×（-1)/ ×(-1)/ ×……×(-1)/ ×(-2）/×（-2)/ ×……×(2)/ 个。这就是2n的哥猜数个数公式（除去2n的母质数）。再补充解释一下。2n除以其第一类母质数，余数不为0，故在2n内找到被其第一类母质数除余数不为0的数，只要除数的个数减1，所剩余的余数均不为0，也与2n的不同。而在第2类母质数中，除数的个数要减2，一是余数不为0的数，二是余数与2n的余数相同的数。若只减去余数与2n相同的数，则不能保证其为质数，故再减去余数为0的一组。这就是为什么第一类母质数减1而第2类母质数减2的道理。再举例说明一下。求100的哥猜数个数。100/(2,3,5,7)/=(0,1,0,2).100×1/2说明100内除以2余数为1个数的个数为50个，这50个数可认为除2余1的数。在这50个奇数中，除以3余2（余1与100的相同，余0为合）的个数为100×1/2×1/3个。同样，在100内，除以2余1，除以3余2，除以5余1,2,3,4的共有100×1/2×1/3×（1/5+1/5+1/5+1/5）=40/3个。在这些数中，除7余1,3,4,5,6的数共有40/3×5/7≈10个。这就是100的哥猜数个数，共10个，即5对。不包括3+97，因为3为100的母质数。为什么用公式算出的数多为分数呢，这是由于2n不能被所有母质数整除的缘故。算出的数的整数值在其实际值附近。=100×1/2×1/3×4/5×5/7=200/2110个。即11,89；17,83；29，71；41,59；47,53共10个。再推广说明一下。利用等差数列的余数的均布性也可推出任意大偶数内的质数个数（除去其母质数），M=2n×（-1）/×（-1)/ ×……×( -1)/ .其中，,,..为2n的母质数。用其算出的值与实际大体相当。其中除去2n的母质数。这也可以解释质数的渐稀性，因而是正确而能接受时间检验的。补充说明:哥猜数个数公式只是用来论证哥猜的，用其求出的数只是2n的哥猜数个数大体值。还有，用2n内的质数个数公式算出的值减1才是其大体值。哥猜数个数公式及质数个数公式的推导除了用到余数的均布性之外，还有乘法原理及加法原理的思想在里面。
七
哥猜数构造公式。在哥猜数公式中，当母质数固定后，母质数决定的偶数段也确定了，且其最小值为（+1),最大值是[（z+2s) -1].其中，z为2n的最大的母质数,(z+2s)是z后第一个质数。哥猜数公式的分数比较复杂，将其简化一下。2n被它所在的偶数段内最小的偶数所代替这个分数变为分母不变，分子变为所有母质数（除2外）分别减2的差的连乘积。这样，2n的哥猜数个数的构造公式就形成了。=1/2*A*( +1)*(z-2)/z。为2n的哥猜数个数公式的构造数，z为2n的最大母质数，A为一个分数，分母为各母质数(除去2和z)的连乘积，分子为各母质数（除去2和z）减2的差的连乘积。由于第四部分所述，哥猜数个数要大于等于4，而=(7×7+1）×1/2×1/3×3/5×5/7=50/14<4，但=(11×11+1)×1/2×1/3×3/5×5/7×9/11=1098/15474.所以从开始讨论。注：下的数字表示母质数的个数。从6到120（11×11-1）的偶数用列举法证明符合哥猜。下面着重证明以后的N’均大于等于4。这里讨论的是自然数问题，且公式有递推性，故可用数学归纳法证明。p表示母质数的个数。<1>当p=5时，=(11×11+1）×1/2×1/3×3/5×5/7×9/11=1098/154≈74.。<2>设当p=r时4,即（z+1)×1/2×A×(z-2)/z4 （1）。则r+1=[( +2m) +1]×1/2×A×(-2)/ ×(+2m-2)/（+2m) （2）。注：表示第r个母质数，且第r+1个母质数为+2m,m1,m为自然数。比较（1）和（2),除去相同项，（1）左变为+1 (3) ,（2）变为（+2m)×( +2m-2)+（+2m-2)/( +2m),将（2）后面的分数舍去，变为+4m×+4m-2-4m (4）。将（3）,(4)中的除去，且将（3)中的1移至（4）中，变为f(m)=4m+4m(-1)-2-1.现只要证明f(m)>0,就可证明4。令f(m)=0,则={[-4(-1)]+}/8=1/2.由于f(m)的图像（如图一）开口向上，与m轴的右交点为（1/2,0),故当m1时f(m）>0.所以4.即当p=r+1时原命题成立。由（1),(2)知，原命题成立。即哥猜数个数构造公式从母质数个数大于等于5时，其值均大于等于4.
八
回归哥猜数个数公式的证明。由于构造数公式的整数部分是本段哥猜数公式中偶数最小的，而分数的分母不变，分子由减1和减2统一变为减2，，分子减小了。故构造公式的值是本段哥猜数中最小的，而最小者都大于4，所以本段哥猜数的个数也都大于4.又由于构造公式的递增性，故哥猜数个数也是递增的。这就是说，2n的哥猜数个数公式符合第四部分的要求，所以哥猜成立。