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浅谈函数的对称性

发表时间：2020/8/6 来源：《中国教师》2020年9月作者：廖助会

[导读] 函数的对称性是函数的一个基本性质，许多数学问题都涉及对称关系，利用对称关系往往能够更简洁地使数学问题得到解决。对函数的对称性的考察是历年高考的热点，也是教学的难点。这类问题多见于选择题和填空题，并且题目具有综合性、抽象性、灵活性等特点。

廖助会云南省腾冲市第一中学
【摘要】函数的对称性是函数的一个基本性质，许多数学问题都涉及对称关系，利用对称关系往往能够更简洁地使数学问题得到解决。对函数的对称性的考察是历年高考的热点，也是教学的难点。这类问题多见于选择题和填空题，并且题目具有综合性、抽象性、灵活性等特点。

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【关键词】函数；对称性
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2020）09-034-02

        一．函数自身的对称性
        1. 如果函数对定义域内的任意一个都有，那么函数叫偶函数.即偶函数的图象关于y轴对称.
        推广：若函数对定义域内的任意一个都有成立，则函数的图象关于直线对称.
        2. 如果函数对定义域内的任意一个都有，那么函数叫奇函数.即奇函数的图象关于原点对称.
        推广：若函数对定义域内的任意一个都有成立，则函数的图象关于点对称.
        3．若函数存在反函数，且，则函数的图象关于直线y=x对称.
        二．不同函数的对称性
        1．函数与函数的图象关于x轴对称；
        2．函数与函数的图象关于y轴对称；
        3．函数与函数的图象关于原点对称；
        4．函数与函数的图象关于直线对称；
        5．函数与函数的图象关于点对称；
        6. 函数与它的反函数的图象关于直线对称.
        三．例题解析
        【例1】定义在R上的奇函数满足，且，则
        解：∵，∴的图象关于直线对称.
        ∴，故是周期为4的函数.
        ∵，，，
        ∴.
        ∵,
        ∴.
        【例2】已知函数，则（）
        A. 在（0,2）上单调递增
        B. 在（0,2）上单调递减
        C. 的图象关于直线对称
        D. 的图象关于点（1,0）对称
        解：∵，
        ∴在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，故A、B错误.
        ∵，∴的图象关于直线对称.故选C.
        【例3】已知函数满足，若函数与图象的交点为，，……，，则=
        解：∵，∴的图象关于点对称；
        函数的图象关于点对称.
        不妨设，则、，
        故、.
        同理有
        ，
        ∴；
        .
        ∴.
        【例4】已知函数满足，若函数与图象的交点为，，……，，则=
        解：∵，∴的图象关于直线对称；
        函数的图象关于直线对称.
        不妨设，则，即，
        同理有,
        ∴，故
        【例5】若，有，则函数在上的最大值与最小值的和为
        解：，有
        令，有，则，
        令，有，则，
        ∴关于点（0,3）对称，故关于原点对称.
        令
        ∵与都是奇函数，∴是奇函数.
        ∴，故.
        【例6】已知函数的图象上有两对关于 y轴对称的点，求实数的取值范围.
        解：函数关于y轴的对称函数为.
        ∵的图象上有两对关于y轴对称的点,
        ∴与有两个交点，
        即方程有两解，故有两解.
        令，则
        由得，
        当时，，故在上单调递增；
        当时，，故在上单调递减.
        由得,故时，；时，.
        ∵,∴的取值范围是.
参考文献:
[1]李庆慧. 浅谈函数的对称性[J].人文与科学.
[2]尹晋疆. 浅谈函数对称性[J].神州教育.