【摘要】：数学规律教学中利用多元表征理论，既关注数学规律的本质特征，又经历规律的形成过程 ，使数学规律构建完善，由“外”到“内”，由“一”到“多”加深学生对数学规律的理解和掌握。利用言语表征初步感知加法交换律贴点，通过多元表征探索并归纳出加法交换律，迁移加法交换律经验探索归纳加法结合律。
【关键词】：多元表征 数学规律 学习方式
表征是认知心理学的核心规律之一。表征本质上是被表征对象的替代。在数学教育领域，数学表征是数学学习对象的一个替代。唐剑岚博士认为：数学多元表征是指数学学习对象的多种表征形式。这包括两层含义：其一，同一数学学习对象必须具有言语化和视觉化两种本质不同的表征；其二，数学学习对象的表征形式至少具有两种或两种以上 。研究数学表征，需要区分外在表征与内在表征。数学外在表征是数学学习对象的一个替代符号；数学内在表征是学习对象的外在表征内化在人脑中的心理表征，它在本质上也是外在数学学习对象的一个替代符号。[1]莱什指出，数学学习中有五种表征类型：实物情境、教具模型、图形图表、言语、书写符号【2】。
数学运算是小学数学核心素养之一，《课程标准（2011年版）》指出运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。其中运算律是数学计算重要法则之一，运算律是高度概括的运算知识，是在大量的计算现象中归纳出来的数学规律。如何利用多元表征探索运算律，使这一数学规律的探索可视化，如何利用多种表征方式将抽象的数学规律具体化，探索并构建完整的数学规律。苏教版小学数学第八册安排了“加法交换律和结合律”这一相应的内容。下面围绕这一主题展开具体介绍和说明。
言语表征初步感知规律特点
活动一：
师：学校将开展秋季运动会，其中有跳绳和踢毽子两个项目，报名的同学非常多，想请你做统计员，你愿意吗？从图中你知道了哪些信息？
生：（愿意）28个男生跳绳，17个女生跳绳，23个女生踢毽子。
师：小小统计员你表达的真准确。现在想请你统计一下跳绳的有多少人？可以怎么解决？
生1：跳绳的男生+跳绳的女生=跳绳一共的人数。（语言表征）
生2：28+17=45（人）（计算表征）
生3：17+28=45（人）（计算表征）
师：上面两道算式的得数相同，可以写成等式28+17=17+28。
师：观察这个等式，你发现了什么规律？你能再写几个这样的等式吗？
生1:1+1=1+1；1+2=2+1；2+3=3+2。
生2:13+42=42+13；257+43=43+257；154+85=85+154。
生3：1+2=2+1；11+22=22+11；10000+1000=1000+10000。
追问：例子举的完吗？举不完的话，你能举出反例吗？
生：例子还有很多。（摇摇头）没有发现反例。
师：观察这些等式，你有什么发现？
生（言语表征）：等式两边两个加数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
由情景表征展开，来源于学生生活经验，用加法解决，学生很容易写出两道加法算式，这两个算式可以写成一个等式。列举大量这样的等式，即计算表征，探索其中的规律，语言表征是数学教学中常见的外在表征之一。学生能观察出其中的规律，并用自己的话表述出规律的特点，初步感受运算律。
多元表征探索归纳运算规律
活动二：能用自己喜欢的方法表示出来吗？
文字表征
生1：两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
生2：甲数+乙数=乙数+甲数
图形表征
生3：
符号表征
生4：△+○=○+△
生5：a+b＝b+a
师：同学们的这些表达方式你都看的懂吗？
聚焦生3、生4和生5。
生3：短线段表示a，长线段表示b，无论是长的加上短的，还是短的加上长的，他们都等于一整段一样长的线段。
生4：三角形加上圆形就等于圆形加上三角形。
生5：这里的a可以指线段，也可以指三角形性，可以指任意的东西，b也一样，a+b就等于b+a。
师：同学们用文字、符号等多元表达，虽然方式不同，但表达的意思都是一样的，这一规律在数学上称为加法交换律。
小结：如果用字母a、b分别表示两个加数，上面的规律可以写成：a+b＝b+a，这就是加法交换律。
通过学生的前期探索，初步感知了这一运算律，再让学生用自己喜欢的方式表达出这一规律。激发学生用多元的表达体现这一规律，可以适当引导，或者为他们准备丰富的素材可供选择。最终，语言表征、文字表征、图形表征都可以抽象成符号表征，简明扼要的表达加法交换律。
迁移多元表征经验
活动三：
师：统计员们刚才的表现很不错，老师还想再考验考验大家，现在请你统计出跳绳和踢毽子一共有多少人？将你的想法记录下来，并和你的同桌说一说你是怎么样想的？先求什么？再求什么？
生1：（28+17）+23=45+23=68（人）先求出跳绳的人数，再加上踢毽子的人数，就等于一共的人数。
生2：28+（17+23）=28+40=68（人）先求出女生的人数，再加上男生的人数，就等于一共的人数。
追问：哪个算式更简便，（第二个）为什么？
生：17+23正好是整数。
师：这两道算式可以写成等式吗？（可以）下面这三道呢？请你算一算，填一填。
师：观察比较以上三组算式有什么共同的特点？从这些例子中可以发现很什么规律？你能再写几个这样的等式吗？能举出反例吗？用自己喜欢的方法表示出来。并和同桌或者4人小组说说你的想法。
言语表征：等号两边的加数相同， 位置不变，只是运算顺序不同，等号左边的算式是先把前两个加数相加，右边的算式是先把后两个加数相加，他们得到的和相等。
图形表征：
符号表征：(a+b)+c＝a+(b+c)
小结：如果用字母a、b、c分别表示三个加数，上面的规律可以写成：(a+b)+c＝a+(b+c)，这就是加法结合律。
加法交换律的探索过程中已经带领学生经历了探索规律的过程结构和方法结构结构，后面探索加法结合律的方法结构和过程结构是一样的，学生通过经验的转移，可以自主探究出加法结合律。
活动一基于大量举例，用文字表征让学生初步感知加法交换律的特征，基本构建出加法交换律这一规律。活动二在单一的文字表征基础上，结合图形表征加以内化，利用多元表征加深对加法交换律的理解，由内在思维构建出加法交换律这一规律对象。学生从一个等式拓展到多个同类型的等式后用符号表征加以概括和表达出这一数学规律，经历了完整的探索过程，形成规律探索、归纳的经验，建立出数学模型。
活动三将内化的多元表征的学习方式，迁移经验，运用模型，探究概括出加法结合律这一规律。学生经历单一表征到多元表征的过程，构建完善的运算的规律。利用多元表征使数学规律的探索过程可视化，归纳出的规律才能让学生体会深刻，有利于学生的理解、掌握和运用。
参考文献：
[1]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M] .南京:南京师范大学出版社, 2009 .
[2]席爱勇.数学多元表征：让概念形成过程“看得见”[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2017.