摘要：利用“挖补法”对带电体模型进行转化，丰富了解决带电体静电场问题的方法，降低了问题的求解难度。总结了“挖补法”的理论依据和使用范围。
关键词：静电场；电场强度；挖补法
1.引言
求解静电场中带电体电场强度的方法有很多种，一般是：场强叠加法、高斯定理法、镜像法、分离变量法、格林函数法等。
场强叠加法的核心思想是多个电荷的场强之间的叠加原理。在电荷分布已知的情况下，根据叠加原理直接求和或积分运算即可。
高斯定理方法求解电场强度的问题，主要基于库仑定律和电场叠加原理。用高斯定理求解电场强度一般需要电场具有较好的对称性。
镜像法是求解边值问题的一种特殊的猜想方法，其理论依据是叠加原理和唯一性定理。这里利用点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷，这种“尝试解”的正确性要有唯一性定理做保证。
分离变量法是数学物理方程中一种十分常用的方法，其适用于求解具有理想边界条件的边值问题。用分离变量法求解静电场问题的依据是场的唯一性定理，因为分离变量后的解既满足微分方程，又满足边界条件，因此该解就是问题的真解。
格林函数法就是借助格林公式把静电场边值问题转换成求解相应的格林函数问题，也就是将非齐次边界条件下泊松方程的求解问题简化为齐次边界条件下点源激励的泊松方程的求解。知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。
可见，叠加原理与唯一性定理是上述方法的基本出发点。实际上镜像法、分离变量法、格林函数法都是求解泊松方程或拉普拉斯方程的一些具体方法。其中镜像法是在满足边界条件情况下的一种等效方法，而下面谈到的“挖补法”也是一种等效的方法。
2.挖补法
“挖补法”在求解物理问题中使用还是比较广泛的。在静电场中，所谓“挖补法”就是对给定的带电体，通过“挖”或“补”的方式转换成等效的其它形式的带电体模型，而这转化后的模型便于采用上述方法进行求解。它的理论依据依然是叠加原理及唯一性定理。因此“挖补法”并不是一种独立的方法，但却是一种有效的方法。其求解问题的路线是通过挖补的方法，把原来不对称的、用一般方法求解有一定难度的问题转换成有一定对称性的问题，也就是把复杂模型转为简易模型，从而达到便于求解的目的。这种方法从形式上是使解题过程得到了简化，但更重要的是这种转化的思想对求解问题的指导作用，以及这种方法在不同的具体问题中的灵活应用。
3.“挖补法”应用分析
下面以静电场中带电体求解电场强度的几个例子来说明“挖补法”的思想和在不同问题中如何使用。为保证求解过程的严谨性，以下问题中所提及的带电介质均假设处于真空中。
（1）有缺口的带电细圆环在圆心处的场强
一个半径为R的带有缺口的细圆环如图1所示，已知缺口长度是d（d<<R），此时圆环上带均匀的正电荷，总电量是q，求圆心O处的场强大小E。
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求解如下：
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此时由圆心指向缺口中心方向。
（2）带电环形薄圆盘轴线上的场强
如图2所示，均匀带正电的环形薄圆盘的内外半径为a和b，电荷面密度为σ，求轴线上任意点的电场强度。
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分析过程：利用挖补法的转换思想，将“挖掉的”空心部分补上，看成是半径为b的实心圆盘，与原环带有同面密度同性质的电荷。为了保证原模型的不变，还需假设半径为a的小圆盘带有与大圆盘相同电荷密度但电性相反的电荷，根据叠加原理，轴线上任一点的场强应该是这两个圆盘各自形成场强的叠加。
于是，根据有叠加原理可求大圆盘在轴线上产生的电场强度为：
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（3）有缺口的带电球面在圆心处的场强
真空中存在一个均匀的带正电球面，如图3所示。球的半径大小是R，总电量为Q，现在球面上挖去以很小面积（连同其以上电荷），假定其余部分的电荷依旧是均匀分布，那么挖去以后球心处的电场强度是多少。
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分析过程：由于挖掉的区域已不带电，那么我们可以把此区域视为带等量的异号电荷。整个带电的系统视为均匀带正电的完整球面和携带负电的电荷构成，由题意可以将视为点电荷。根据场强的叠加原理及高斯定理，带电体系在球心的场强最终就等于携带的点电荷的电场强度，即：
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场强的方向是从圆心向。
（4）有空腔的带电球体的场强
如图4所示，半径为R带正电球体内，挖去以O1为中心、半径为R1的球中电荷。O1至球心O的距离为a，a+R1<<R，带电部分电荷体密度为。求O1点场强。
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分析过程：整体可看成是一个以O为球心R为半径电荷体密度为的均匀带电球和另一个以O1为球心R1为半径均匀带电荷体密度为﹣的带电球所构成。先用体电荷密度是的球将挖掉的O1小球填补上，把均匀带电大球体O的场强大小计算出来，再把O1小球所产生的场强求出来，二者叠加便为空腔O1点的场强。
利用高斯定理计算出带电球体O在带电小球体O1点处的场强如下：
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总场强为：
方向沿OO1的连线方向。
当然，在此基础上还可进一步求出O1的电势，这里不再赘述。
4.结论
“挖补法”是一种处理问题的特殊方法，它主要是把研究的对象进行转化处理，把较复杂的研究对象转化为较简单的模型，并使用一般方法进行求解，从这些分析过程中看到：
（1）“挖补法”的主要思想是转化。而这种转化的思想在解决物理问题时，是一种很好的方向，具有一定的指导意义。实际上，这种思想对求解静电问题乃至其他物理问题，都有借鉴的价值。就“挖补法”本身而言，在稳恒磁场中、在力学中等也能看到它的应用。
（2）“挖补法”在解决静电场中带电体的场强问题时，对一些问题的求解非常便捷，思路清晰，简化了一些繁琐的计算过程，使解题步骤更加简洁，非常实用。但它并不是一种独立的方法，达到转化的目的后，它依然要依靠一般方法来进行求解，它依旧服从叠加原理和唯一性定理的要求。
（3）“挖补法”虽然对一些问题很有效，但它能解决的问题多少都带有一定的特殊性，因而它的普遍性并不是很高，它同样有适用范围的限制。许多物理问题并没有一个普遍有效的解法，经常是每个方法仅能解决部分问题。
刘立（1963.04）男，汉族 黑龙江省北安市人，教授，硕士研究生专业方向，物理课程教学论