内容提要：每节课都有知识的“生长点”， 找准知识的“生长点”对于每节课来说都是必须的，找到了“生长点”，也就找到了这个节课的“着力点”。就“植树问题”这节课而言，找准“生长点”的意义是为了从整体上建构模型。模型建构的“生长点”如何去找？从俞正强老师的课反观自己的课，发现：模型建构的“生长点”要基于学生的认知，可以从学生已有的知识经验、生活经验、知识体系脉络中找到模型建构的“生长点”。
关键词：基于认知 模型建构 生长点
“植树问题”是“数学广角”的内容，没有承载“双基”目标的重任，主要是通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单问题。教学重点是探索“植树问题”的规律，建构“植树问题”模型，在过程中体验、感悟“一一对应”、“数形结合”的数学思想。为此，我进行了“植树问题”例2的课堂实践。
课堂实践：自主探究“两端不栽”的植树问题
出示：大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁植树（两端不载），相领两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？
1．读题，理解关键信息
2．生独立尝试解决
3．反馈 预设生：60÷3－1＝19（棵） 60÷3－2＝18（棵）
60÷3＋1＝21（棵） 60÷3＝20（棵）
4．观察对比，聚焦矛盾点
师：仔细观察算式，找不同点和相同点。
5．画图示，找关系
小结：通过研究，大家发现：当两端都不种时，棵数＝间隔数－1
6．应用规律，解决例题
7．引出只种一端的植树问题
8. 回顾、梳理三种植树问题
①观察、比较这3种植树问题，你有什么发现？（找相同点与不同点）
②植树问题模型沟通，建立联系
③小结：植树情况不同，结果也不同，但是解决问题的方法是相同的。我们只要找准了棵树与间隔数的关系就可以解决植树类的问题了。
理解题意，引出两端不栽的植树问题→独立尝试解决问题，及时了解学生原生态想法→观察对比算式异同，发现争论的焦点是“棵树与间隔数之间的关系”→学生自主画线段图、数棵数、数间隔数，从而发现棵数和间隔数的关系→借助图示顺势引出只种一端的植树问题→三种植树问题梳理、沟通，建立联系。因为有例1的探索经验，我一直认为例2的教学环节这样设计是环环相扣，合理到位的。特别是“画图示，找关系”环节，是基于学生认知的模型建构：放手让学生自己找相关例子，画图示、数棵数、数间隔数，然后水到渠成发现“树的棵数比间隔数少1”。
我的教学设计理想很丰满，可现实是骨感的。在磨课过程中一直存在着学生不会自主找相关例子画图示，找关系，需要老师扶着举1-2个例子，学生才“恍然大悟”继续“研究”。当时我总归结于上一节课，学生例1学得不好，探究方法等基础不扎实。最近有机会听俞正强老师的《植树问题》一课，仰望大师的课，再反观自己的课堂，终于找到了我的“植树问题”课堂症结所在。
我的思考：
《数学课程标准解读》（2011版）指出：“数学建模”就是综合所学习的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，是数学“综合与实践”的重要组成部分。“植树问题”是“数学广角”的一个内容，应属于“综合与实践”课型，它偏重于知识的综合运用，是对所学知识、思想方法在实践中的进一步应用和拓展。因此，“植树问题”的模型建构应基于学生的已有认知，无需再“另起炉灶”全新呈现。
一、学生已有知识经验中找模型建构的“生长点”
学生独立解决例2这个问题时，学生列的算式是“60÷3－1＝19（棵） 60÷3－2＝18（棵） 60÷3＋1＝21（棵） 60÷3＝20（棵）”，这说明解决这个问题时学生首先想到是包含除，用除法算。那我的课堂上为什么要忽略学生的这个认知起点，而是非要“画图示找关系”，利用“一棵树对应一个间隔的一一对应”的思想来解决“棵数与间隔数的关系”？
俞老师的课堂就是从学生“用包含除解决这个问题”的知识经验入手展开教学。课始出示“20米，5米一段，共分几段”，这是二年级水平的题，学生会做，也能说出为什么用除法做？在此基础上出示植树问题“20米，5米种一棵，共种几棵”，学生自然会想到用包含除解决这个问题，只是和上一题有些不同。上一题研究的是等分中的“段”，而这题研究的是等分中的“点”，树是种在点上。然后图形结合理解“1条线段2个点，2条线段3个点，3条线段4个点······”得出“任何等分中，点数都比段数多一”。
找准知识的“生长点”对于每节课来说都是必须的，就“植树问题”这节课而言，找准“生长点”的意义是为了从整体上建构模型。解决此类问题用“包含除”是学生已有的知识经验，“植树问题”的解决也是利用“包含除”的知识，只不过研究从“段”到“点”而已。植树问题的模型不知不觉就建立起来了。
二、生活经验中找模型建构的“生长点”
我的课堂上学了三种植树情况后，适时追问引发学生思考：相同的地方在哪里？不同的地方又在哪里？然后通过对比联系、沟通完善建构“植树问题”模型。在这个过程中，老师始终站在幕后，学生说得很到位，顺其自然模型建立。但是我有隐隐地担忧：如果我是学生，时间一长，到底什么植树情况是“＋1”“－1”还是不加也不减，建立的植树问题模型的三种情况会混淆。
俞老师的课堂围绕学生熟悉的生活经验展开，在生活经验中建立植树问题的模型。将树种在“点”上，“点”数比“段”数多1，这是“植树问题”的基本模型——两端都栽，是课堂上重点要建立的模型。接着找生活经验来支撑模型：生活中除了园林工人将树种在点上，还有什么人也是把事情干在点上的。然后根据生活经验衍生出另外两种植树情况：现在真的要去种树了，20米，5米种一棵，你们组会向我领几棵树？走到现场一看，发现一端有房子（两端有房子）。尽管没有很多的讲解，但是学生根据生活经验模型建立很到位：两头种不种要看具体情况，像这样一头有房子属于一头种一头不种，－1；两头都有房子，属于两头都不种，－2。学生无需记忆很多，只要知道“植树问题”的基本模型就可以了。
三、知识体系脉络中找模型建构的“生长点”
在知识体系脉络中，知识的链条环环相扣。每项新知识往往是旧知识的延伸和发展——旧里蕴新，又不断化新为旧。在例1教学中，学生对“一一对应”、“数形结合”都有了体验和感受，“两端都栽”的植树问题模型建立也很到位。但是我在例2教学的磨课过程中发现：学生自主找相关例子画图示，找关系有困难，需要老师扶着才行。说明用“一棵树对应一个间隔的一一对应”思想来解决植树问题，没有和旧知识建立联系，没有形成知识脉络体系，不是最佳模型建构的“生长点”。
俞老师的课堂告诉我们，“植树问题”模型是对“包含除法”模型的补充和完善，从知识体系脉络来看是“包含除法”这一整体性数学模型的一个组成部分或具体环节。学生学习“植树问题”的起点和终点其实都是“包含除法”模型，俞老师设计的“比较这两道题的相同与不同”这个环节，其实正是将“植树问题”模型纳入到“包含除法”模型中，完善并丰富了学生的知识体系。
基于学生认知，从学生的已有知识经验、生活经验以及知识体系脉络方面综合考虑，找准“植树问题”模型建构的“生长点”，实现教与学的和谐统一。
参考文献：
1.《数学课程标准解读》（2011版）
2.《小学数学教育》