摘要 数学是研究数量关系及其空间形式的科学，数量关系是数学研究的重要领域之一，本文以四道试题为例，探究含有“幂指对”代数式中量的关系，提升学生核心素养，以理性思维践行“立德树人，服务选才”。
关键词 幂指对 函数 比较大小
一、问题引入
数量关系是数学研究的重要领域之一，也是高考数学中不可或缺的内容，因此数学试题中定量，半定量的题比重较大，定量并不是一般的简单、机械计算，而是定义、性质、法则等综合于运算之中，在运算过程中考查考生的转化能力、理解能力和严谨的科学思维。幂指对函数式比较大小是高考数学数量关系中的一个难点与热点，通过自己的研究，形成以下思考与同行们分享。
例1：（2017新课标Ⅰ理科）
则
分析：
怎么办？自然地想到等式
通过指对互化表示出的
关系式，是解决此题突破口。
思路一：作商比较法
评注：此法引入了一个参数，化为同真数的对数式，利用对数换底公式是消此题参数最佳的方法。若不消参数，自然地想到思路二：对数函数单调性比较大小。
思路二：转化为同真数
评注：指对互化后，对数式中真数相同，底数不同，化出相同部分，比较不同部分。不难想到把指数式化为同指数或同底数，对数式化为同真数或同底数，从而达到解决问题的目的。
思路三：转化为同指数
，，只需要比较的大小，同上.
思路四：转化为同结构
点评：注意恒等式
是此法解决问题的难点，若指数式不能化为同指数或同底数，对数式不能化为同真数或同底数，但可以化为同结构，利用函数单调性比较大小。
思路五：特殊值比较大小
评注：不是所有指对式都能化“同”（同结构、真数、指数和底数），我们也可以采用特殊法，若满足一般性，则特殊性也满足。
思路六：常用数据法
两边取对数得：
记住常用数据，可以大大简化计算量，考纲也明确要求会画底数的对数函数
的图像.
例2.（2020全国三卷理科）已知，设，则
思路四：二分介值法
比较大小问题本质就是区分谁大谁小，无法直接比较两个数的大小，我们可以引入中间量逐步逼近比较。而二分法思想是引入中间量的主要依据。
例4：（2019云南省统测）已知
解：同构法
细致观察此题对数式，真数均比底数大1，属于同结构式，则需考虑函数
的单调性，令函数，
评注：考生
求导可能有一定的难度，如何把未学
导数的求法转化为已学函数
导数的求法，是解决此题的关键。相类似的高考题还有2005年全国卷三第6题。
二、方法总结
例1与例4可以化同，则主要从问题的宏观角度分析，例2与例3不能化同，则从问题微观角度分析，通俗的地说：幂指对函数的大小比较问题一般归结为两个方面：一个是宏观方面，通过指对互化转化为同结构、真数、指数、系数、底数等的式子，通过化同找到相同部分，利用函数单调性进行比较不同部分；另一个是微观方面：通过作差、作商、不等式放缩、常用数据、特殊值和二分介值法等进行比较。
四道例题的解法揭示了看问题的基本观点：“宏观看结构，微观抓关键”。在数学学习活动中，应该从知识积累层面上升到掌握解决问题通性通法的能力，挖掘背后蕴含的思想，形成看问题以及处理问题的基本观点；所谓观点，就是我们在解决问题过程中形成对事物和问题所持的看法。拥有什么样的观点，往往影响着我们对问题的理解，从而决定所选择的方法，观点越深刻，看问题越透彻，处理问题就越自然。
三、教学启示
在商品交易过程中，我们都知道要“货比三家”，不只是单纯的比较价格，还要对比产品的质量、企业的文化底蕴和产品的设计理念等，这就是人们对商品交易所持的观点。在数学教育教学活动中，我们常常发现，学生听得懂却解不出题，不是因为学生缺少相应的知识和方法，而是没有形成一些看问题的观点。重视通性通法，应用变式和启发式教学，培养学生看问题的观点，淡化特殊技能法。所谓通性通法，就是解决某类问题中具有普遍规律的方法，此种方法常常以概念为依据，以基本方法为技能，操作过程能为绝大多数学生所掌握；特殊技巧法，着眼于提高，灵魂在于一个“巧”字，“巧”意味着运用面狭窄，不宜推广使用，一般学生难于掌握，故在教学中应立足于通性通法，兼顾特殊技巧法，有助于学生对基础知识的巩固和理解、科学素养的提升、科学方法的掌握、科学态度的形成。
参考文献
[1]苏艺伟，陈艺平.指数式及对数式比较大小试题的三种常见题型[J].中学数学研究，2019，04：3-5