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两道参数方程带来的思考

发表时间：2020/8/17 来源：《文化时代》2020年7期作者：孙燎

[导读]

四川省古蔺县蔺阳中学

        例1.（四川省宜宾市2016级高三第一次诊断性考试）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=－2+tcosα,

        y=tsinα,（t为参数）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2(4+5sin2θ)=36．
        （1）求l和C的直角坐标方程；
        （2）设P(－2,0)，l和C相交于A,B两点，若|PA|·|PB|=4，求sinα的值．
        其解答过程如下：
        解：(1)当α=π2+kπ，k∈Z时，l:x=2
        当α≠π2+kπ，k∈Z时，由 x=－2+tcosα
        y=tsinα，得yx+2=tanα,l：y=(x+2)tanα
         综上，l的直角坐标方程为x=2,或y=(x+2)tanα
        由C的极坐标方程ρ2(4+5sin2θ)=36得4(x2+y2)+5y2=36,∴C的直角坐标方程为x29+y24=1
        (2) 将x=－2+tcosα
        y=tsinα，(t为参数）代入x29+y24=1，得 (4+5sin2α)t2－16tcosα－20=0
        ∴t1t2=－204+5sin2α∵P(－2,0)在l上，∴|PA||PB|=|t1||t2|=|－204+5sin2α|=4∴sinα=±55
        例2.（四川省泸州市2016级高三第二次诊断性考试）在平面直角坐标系xOy中,点P(0,－1),直线l的参数方程为x=tcosα,
        y=－1+tsinα, （t为参数），以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ.
        (1).求曲线C的直角坐标方程；
        (2).若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B,M是线段AB的中点,当|PM|=409时，
        求sinα值
        其解答过程如下：
        解：(1)由ρ+ρcos2θ=8sinθ两边同乘ρ得ρ2+ρ2cos2θ=8ρsinθp2+,所以x2+y2+x2－y2=8y,所以C的直角坐标方程为x2=4y；
        (2)将直线x=tcosα,
        y=－1+tsinα, 代入x2=4y得t2cos2α－4tsinα+4=0，设A,B两点对应参数分别为t1,t2,由△=16sin2α－16cos2α>0∴sinα>22，∴t1+t2=4sinαcos2α，
        故|PM|=|t1+t2|2=2sinαcos2α=409所以20sin2α+9sinα－20=0解得sinα=45或sinα=－54 (舍去)所以sinα=45.
        此二题在求解最终目标时是一样的，而最终目标产生的背景和呈现的情形均一样，然而，两个题的结果不一样，而后一题只有一个结果是由于在“16sin2α－16cos2α>0∴sinα>22”与“|PM|=|t1+t2|2=2sinαcos2α=409”两个步骤中，都认为“sinα>0”，从而导致结果少一个，究其原因，是因为“直线l的参数方程为x=tcosα,
        y=－1+tsinα,（t为参数）”中“α” 直线l的倾斜角.其范围为0,π，故有“sinα>0”.那么，如何看出“α” 是直线l的倾斜角呢？如果“α” 不是直线l的倾斜角会不会影响这个运算的执行呢？
        首先，人教A版选修4——4第35页是这样定义直线的参数方程：
        经过点M0(x0,y0),倾斜角为a的直线l的参数方程为
        x=x0+tcosa,
        y=y0+tsina.(t为参数)
        从这个定义中可以看出，先有倾斜角才有参数方程，从充分条件与必要条件的角度出发，已知直线l经过M(x0,y0)，命题P:“直线l的倾斜角为α”，命题Q：“直线l的参数方程为
        x=x0+tcosα

        y=y0+tsinα（t为参数）”，显然，P是Q的既不充分也不必要条件，而不是等价关系，再有假设直线l的方程为y=xtanα+m，我们不能因为k=tanα就说直线l的倾斜角为α，因而从此题中，不能看出直线l的倾斜角为α.
        其次，如果“α” 不是直线l的倾斜角，会产生怎样的情况？其解答过程应该调整为：
        解：将直线x=tcosα,
        y=－1+tsinα,代入x2=4y得t2cos2α－4tsinα+4=0，设A,B两点对应参数分别为t1,t2,由△=16sin2α－16cos2α>0∴－1≤sinα<－22或22<sinα≤1，∴t1+t2=4sinαcos2α，
        故|PM|=|t1+t2|2=2sinαcos2α=409所以当sinα>0时，20sin2α+9sinα－20=0解得sinα=45或sinα=－54 (舍去)所以sinα=45；当sinα<0时，20sin2α－9sinα－20=0解得sinα=－45或sinα=54 (舍去)所以sinα=－45，综上sinα=45或sinα=－45.
        这种解法对“sinα>0”是毫无争议的，对“sinα<0”，参数t的几何意义发生变化后还能不应用，值得思考，不难发现，当sinα<0时，t1,t2的几何意义虽然发生变化，但不影响中点参数关系即“t0=t1+t22”仍然成立. 从而不影响解答过程.
        这种解法与参考答案的解法主要的区别对比如下：区
        别
        1△=16sin2α－16cos2α>0∴sinα>22，△=16sin2α－16cos2α>0∴－1≤sinα<－22或22<sinα≤1
        区
        别
        2|PM|=|t1+t2|2=2sinαcos2α=409|PM|=|t1+t2|2=2sinαcos2α=409
        说明：如果不默认sinα>0，是得不到前面解法结果的.
        接下来我们在从另外一个角度即解析几何来看这道试题的解题过程:
        解: 设直线l的方程为y=kx－1代入x2=4y得x2－4kx+4=0由△=16k2α－16>0∴k>1或k<－1
        令A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x1+x2=4k所以x0=2k所以M(2k,2k2－1)所以
        |PM| = x20 + (y0 + 1)2∴(409)2=(2k)2+(2k2)2解得: k2=169或k2=－259（舍去）∴k=43或k=－43
        当k=43时,直线l的方程为y=43x－1,其参数方程有很多种,与题目所给参数方程最吻合的两种形式为:
        x=35t,

        y=－1+45t,
        （t为参数）或
        x=－35t,

        y=－1－45t,
        （t为参数）所以sinα=45或sinα=－45;
        当k=－43时,直线l的方程为y=－43x－1,其参数方程有很多种, 与题目所给参数方程最吻合的两种形式为:
        x=－35t,

        y=－1+45t,
        （t为参数）或
        x=35t,

        y=－1－45t,
        （t为参数）所以sinα=45或sinα=－45;
        综上sinα=45或sinα=－45;
        为此得出的结论是,此题如果默认直线l的倾斜角为α则sinα=45,如果直线l的倾斜角不一定为α,则sinα=45或sinα=－45.即如图，同一条直线l：


        若用倾斜角α来写参数方程，则x=x0+tcosα,

        y=y0+tsinα, （t为参数）此时sinα>0；
        若用倾斜角θ来写参数方程，则
        x=x0+tcosθ,

        y=y0+tsinθ,（t为参数）此时sinθ<0.
        因而就需要看命题人的意图在哪儿,更考察学生如何巧妙的揣测命题者的意图,最后，为了避免概念混淆,个人建议可以将题干改变如下:
        1.在平面直角坐标系xOy中,点P(0,－1),直线l的参数方程为x=tcosα,
        y=－1+tsinα, （t为参数, 0≤α<1800），以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ.
        (1)求曲线C的直角坐标方程；
        (2)若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B,M是线段AB的中点,当|PM|=409时，
        求sinα值;
        2.在平面直角坐标系xOy中,点P(0,－1),直线l的倾斜角为α,其参数方程为x=tcosα,
        y=－1+tsinα, （t为参数），以原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ.
        (1).求曲线C的直角坐标方程；
        (2).若直线l与曲线C相交于不同的两点A、B,M是线段AB的中点,当|PM|=409时，
        求sinα值