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浅谈微元法在高中物理中的应用

发表时间：2020/8/17 来源：《文化时代》2020年7期作者：陈权

[导读] 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法。在高中物理教学中，用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决。

绵阳南山中学实验学校
        摘要：微元法是分析、解决物理问题中的常用方法。在高中物理教学中，用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决。
        关键词：高中物理；教学；微元法

        微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象进行无限细分，从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象变化规律的一种思想方法，用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。微元法贯穿于高中阶段的物理知识体系，渗透于一些物理概念、公式中。
        在使用微元法处理连续体问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”（如时间元Δt、质量元Δm、长度元ΔL、面积元ΔS），而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而对问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而达到巩固知识、加深认识和提高能力的目的。
        选取微元时所遵从的基本原则是：所取的“微元”必须参加叠加演算，因此，对“微元”及相应的量应该具备“可加性”特征；为了保证所取的“微元”在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元”。
        一、微元法的应用步骤
        (一)取元
        微元法的关键是“元”，因此，取元这个步骤是微元法应用的重中之重。如果“元”取得不好，那么不仅无法得出最终的结论，而且还会增加解题难度。首先，取元的时候一定要确定这个“元”是简单易算的，如果取的“元”本身就十分复杂难以求解，就失去了应用微元法的意义。其次，取的“元”能够通过叠加得出最终的结果。这里的叠加有两层含义。第一，这里的叠加并不是简单的相加，而是一种加权叠加，也就是在计算每个“元”的时候一定要考虑其本身的权重。第二，取元的目的是为了解答出最终的整体的物理过程，因此，这些“元”叠加后要能够代表整体，既不能重复，又不能有所遗漏。最后，选取的“元”必须具有某种潜在的规律，并且能通过这个规律实现加权叠加。这个“元”微小的程度可以理解成无限小，是一个极限的概念。在物理解题的过程中，所取的“元”可以是一段弧、一段时间、一段线段等。可以用Δ来表示这个微小的过程，例如时间元可以是Δt，位移元可以是Δl等。
        (二)模型化
        模型化就是将所取得“元”的物理过程通过近似的过程转化为一个容易求解的简单的过程。模型化实际上就是通过近似相等或者极限相等的概念将复杂的情况简单化。能否建立正确的模型是能否解出答案的关键。
        (三)求和
        求和就是将每个“元”计算的结果叠加起来，最终得出结果。其实这个过程更多的是数学的过程，也就是数学求和公式的灵活运用。不过值得提醒的是，在求每个“元”的时候不要将所有的“元”的结果算出来，很多时候，在求和公式中通过数学变形，能够更简单地得出最终的结果。
        二、微元法在高中物理解题中的应用
        (一)位移
        例2：如图2所示，有一导体电阻R水平放置，将其和两根平行的光滑金属导轨连接在一起，导轨的间隔距离为L，其间有垂直于导轨平面且强度为B的匀强磁场。假设导轨上的导体棒ab质量为m，它以初速度υ0向右运动。求导体棒的位移x。

        图2导体电阻R连接示意图
        解析：选取时间微元Δt，按照楞次定律可得ma=-B2L2vR。因为选择的微元较小，因此公式两侧同时乘以Δt，该等式仍然成立，即maΔt=-B2L2vRΔt。此时，进行累积求和，即是∑maΔt=∑-(B2L2vR)Δt,化简可得-B2L2R∑vΔt=m∑aΔt。其中ΣυΔt表示的是导体棒的位移x，其中代数式ΣaΔt=-υ0，最终得导体棒的位移x=mv0RB2L2。
        (二)加速度
        孕妇可通过体重监测来控制宝宝的发育，同时也可使自己成为窈窕孕妈妈。孕期宝宝发育规律显示，过多的体重增长其实是没有必要的，合理、科学的增重，按宝宝发育规律增重，既能满足宝宝生长发育的需求，也不会给孕妈妈带来额外的负担而诱发妊娠并发症。孕妈妈一定要树立宝宝长妈妈长，宝宝不长妈妈也不长的理念，根据不同孕期的营养特点相应增加所需的营养素即可。

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        图3小球运动的速率-时间图像

        试求：(1)整个过程中小球克服空气阻力所做的功为多少？(2)小球抛出瞬间的加速度是多少？
        解析：(1)根据动能定理可得空气阻力做功为Wf=12mv21-12mv20则克服空气阻力做的功为：
        W=-Wf=12mv21-12mv20。
        (2)由于已知空气阻力，因此可以根据落地时的匀速运动得出mg-kυ1=0。假设刚抛出时的加速度为a0，则有mg+kυ0=ma0，解得a0=1+v0v1g。
        (三)电动势
        例4：如图4所示，一根长为l，以角速度ω绕其一端O匀速转动的导体棒OA，试求导体棒两端的电动势大小。

         图4导体棒转动示意图

        解析：我们一般的分析方法，一是利用重点的速度来代替平均速度求解，二是利用法拉第电磁感应定律构建一个回路，然后求解。我们还可以利用微元法来分析。将OA均匀细分为n段，第i段的切割速度为vi=ω·iln。
        每一小段的元电动势为:ωi=ω·iln·iln·B,则OA的电动势为:ωOA=limn1ω·ln·ln·B。当n趋于无穷放大时，根据数学运算：limni=1i·1n2=12,所以可得ωOA=12ωBl2。
        (四)张力
        所谓张力问题，就是题目要求求解绳或者是链条等的张力大小，其一般都处于平衡状态，主要研究对象不容易选择，一般很难入手。这类问题对于培养学生的的科学思维能力，建立科学的物理思想，养成正确的分析问题的习惯以及掌握科学分析物理问题的方法有很大的帮助作用。
        图5绳子张力
        示意图

        例5：如图5所示，半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的不可伸长的柔软细绳，长度为2πa,a=R2,将细绳从球的正上方轻放在球上，让细绳的各部分不处于同一水平面上，只考虑重力，不计一切摩擦，求绳子的张力大小。

        解析：选一小段细绳作为研究对象，长为aΔΨ。质量为Δm=M2πa·aπΨ=M2πΔΨ。（ΔΨ很小)
        这一小段细绳在水平面内，两端受张力T的作用，竖直平面内受重力Δmg，方向竖直向下，球面的支持力N，方向沿半径R指向球外。正视图和俯视图分别如图6(a)和(b)所示。

        图6细线张力的正视图和俯视图

        由于ΔΨ很小，所以两端张力的合力为TΔΨ，位于水平面内，重力Δmg、球面的支持力N和张力的合力都在同一水平面内。当细绳处于平衡状态时，这三个力的合力都为零，可得：
        Nsinθ-TΔΨ=0,Ncosθ-Δmg=0。
        可得张力T为T=3M6π。
        三、结束语
        高中物理是一门复杂的学科，对学生的基本功要求很高。很多时候，学生不仅需要具备扎实的的物理基本功，同时也需要一定的数学基本功。学生在学习中可以利用数学原理来解决物理问题，其实微元法的解题方法就是将物理概念通过数学的手段表现出来，并且用数学的方式来处理，学生在学习物理时，一定要把握住重点，灵活运用微元法，只有这样才能真正做好高中物理习题。
        参考文献：
        ［1］王亚华.巧用“微元法”解题利器攻克高中物理难题［J］.中学物理(高中版)，2013(15)：77-78.
        ［2］田胜平.新课程背景下微元法在高中物理中的应用［J］.考试周刊，2014(52)：131-132.