广州大学土木工程学院 广东广州 510006
摘要：地震波作为一种非平稳信号，对地震波的加速度数据进行小波变换是对其进行研究的一个有效途径。小波变换需要选取小波基，本文以实际数据提出了合适的小波基选取方法，给地震波的研究带来一些思考。
关键词：地震波；小波变换；小波基
1引言
1994年，G.trang和V.Strela[1]等人建立了多小波的基本理论框架图，掀起了小波分析理论研究的新热潮。经过这些年的发展，小波分析在科技以及信息产业领域取得了不斐的成效，通过对小波的平移或缩放，我们可以把需要研究的信号进行细化，可以实现多尺度分析，从而解决很多难题，而地震波作为一种典型的非平稳信号，所以使用小波分析方式来研究是合理的。
2小波变换介绍
小波分析，其时间窗和频率窗都可以改变，能准确地随着科学研究的需要实现信号局部特征的表征，在低频部分有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频成分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率【2】，它的多分辨率分析的特点，是研究各种信号的优势所在。
地震波的三要素：幅值、持时和频谱特性。地震波频率成分随时间变化而变化是其非常重要的一个特征，所以用小波变换对地震波信号进行分析是很有价值的一项工作。
小波变换的公式为：
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(1-1)
其中
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﹥0，称为尺度，控制小波函数的伸缩，
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称为平移量，控制小波函数的平移， 设函数
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，并且
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，即
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，则称
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为一个基本小波或母小波。
3母小波的介绍及对比
事实上，小波变换和傅里叶变换两者在本质上是一致的，区别就在于小波变换用有限长度会衰减的基，替换了傅里叶变换的无限长的三角函数基。小波变换一方面可以获得需要的频率，另一方面可以同时获取时间坐标。作为小波变换的核心，小波基不是一成不变的，我们在处理不同信号的时候，需选择合适的小波基。
小波变换存在两种方式，一种是连续性小波变换，简称为CWT，另一种为离散型小波变换，简称为DWT。连续小波变换就更适合于连续的信号处理，因为它可以轻易提取出来信号的主要特征[3]。
在选择母小波的时候，我们需要考虑多方面的因素[4]，不仅包括图形和宽度，还包括虚实，以及是否正交等。
常见的小波基中，Haar小波在时域上是不连续的，所以性能不佳；DbN小波系具有较好的正则性，可以使信号重构过程的光滑性得到很好地保持，但是随着N（阶次）的增加，时域的支撑性会越来越弱，进而大大增加计算量，实时性能下降。而且除了Db1以外的DbN小波，都不具备对称性，这样在分析时会造成相对的相位失真现象； SymN小波系改进了DbN小波函数的相位失真现象； CoifN小波系具有更好的对称性； Meyer小波有正交性但是没有紧支撑性； Morl小波是高斯包络下的单频率复正弦函数，是复值小波，具有非正交性，可以更加准确的表达相位。
本文的目的是为了得到地震波频率随时间变化的详细信息，所以Morl小波分析方法是最合适的。
4实验对比选取母小波
本文的天然地震波数据来自美国的太平洋地震中心（简称PEER），PEER提供了多种地震波选取方式，和国内《建筑抗震设计规范》[5]不同的是，网站采用的为30米深土层的剪切波速，而且震级为矩震级。本文通过对PEER网站搜集的地震波进行初步筛选，统一采样时间间隔，继而对地震波数据进行小波变换和傅里叶变换，确定合适的小波基，下面以PEER网站的RSN43地震波为例，通过MATLAB软件编程操作，得到小波系数图。
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图1-1 RSN43母小波为Morl的小波系数图
如图所示，横坐标表示时间，纵坐标表示尺度，亮度颜色越深，表示系数的值越小，即该地震波的这个频率成分在这个时间段里值很小；亮度颜色越浅，表示系数的值越大，表示该地震波的频率在这个时间段内是主要的频率成分，通过小波系数图，我们可以清晰地看到地震波的主要频率成分是如何随着时间推移而发生变化的。
我们把原始地震波数据进行傅里叶变换，我们可以得到在5-10Hz区间内，频率值比较大，其最大频率值为7.398Hz，然后，对该地震波用各种系列的母小波，比如Sym4，Morl等进行小波变换，得到的部分数据表格整理如下
表 1-1 小波变换结果统计
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表 1-2 各小波的尺度和频率的对应关系统计
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由表格中可以看出，Morl小波作为小波基进行小波变换的系数在坐标x值为11的时候达到最大，和傅里叶变换的频率7.398Hz是统一的， Rbio2.4作为母小波进行小波变换得到的系数最大值出现在第13行，然而此时对应的频率为4.2754Hz，远远小于原始地震波的最大频率值，所以Morl小波是可以反映地震波的实际情况的。
地震波的主要特征就是幅值，频率，持时，在本文中，主要是为了得到地震波的主要频率成分，以及频率成分是如何随着时间变化而发生变化的，通过对PEER网站搜集的几百条地震波进行分析，发现Morl小波在一般情况下，可以对地震波的频率进行准确反映。
5小结
本文通过对比小波变换各种母小波的优缺点，明确了Morl小波更适合作为地震动数据分析的母小波。通过实际数据，针对所研究的问题，确定选取能提高分析效率的Morl小波为母小波。
参考文献
[1]Strang G, Strela V. Short wavelets and matrix dilation equations[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1995, 43(1):108-115.
[2]杨福生，小波变换的工程分析与应用[M]. 北京，科学出版社，1999，2
[3]Furon A, Wagner Riddle C, Smith C R, et al. Wavelet analysis of wintertime and spring thaw CO2 and N2O fluxes from agricultural fields[J]. Agricultural and Forest Meteorology, 2008, 148, 1305-1317.
[4]Farge M. Wavelet transforms and their applications to turbulence[J]. Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. 24: 395-457.
[5]GB 50011-2010，建筑抗震设计规范[S]. 北京：中国建筑工业出版社，2010.