【摘 要】本文以《分数乘分数》的教学为例，运用“比较教学法”，让学生在比较中完成新旧知识的同化，在比较中实现算理算法的内化，在比较中体会解决方案的优化，在比较中促进数学思考的深化，从而提升学生的数学素养。
【关键词】比较 同化 内化 优化 深化
比较是确定事物异同的思维过程，是思维走向深入的过程。教育家乌申斯基曾经说过：“比较是一切理解和思维的基础”。我们教师如何在教学中引导学生运用比较的方法，来帮助学生融合新旧知识、明悟算理算法、体会方案优劣、厘清概念正误呢？下面就以《分数乘分数》为例，谈一谈本人一点想法。
一、在比较中同化，承“旧”启“新”
奥苏伯尔有关学习的理论认为，作为一名学习者，大脑中首先要储备可以用来同化新知识的相应概念。而数学学科特点之一就是知识的系统性和连贯性。我们发现新知识总是在旧知识上生长出来的。新旧知识之间有相互联系的地方，同时也有不同之处。这种不同点就是旧知识的拓展和提高。教师要抓住它们之间的连接点，引导学生通过新旧知识的比较，从而获取新知识。
在教学分数乘分数前，学生已经学习了分数乘整数。从本质上说“分数乘整数”和“整数乘整数”都是在计算“几个”相同加数相加的和是多少。学生通过对比的方法，完成了旧知识中“每份大小”的拓展，把“分数乘整数”和“整数乘整数”融合在一起，重新架构了对乘法的认知。这是学生已有的知识基础和数学经验。所以这节课就是在这样的基础之上，让学生通过比较3瓶水、一瓶水、半瓶水……，使学生明白可以是多个加数，也可以是半个加数、1/3个加数。从而完成对原有的知识结构中“份数”的拓展，份数从大于1份到小于1份，这是乘法中至关重要的一次拓展。通过比较，“分数乘分数”、“分数乘整数”和“整数乘整数”融合到一起；通过比较，学生自然而然地完成新旧知识的同化。
二、在比较中内化，明“理”懂“法”
因为数学知识外显性的特点，学生基本能做到清晰、准确地表述一个知识点。但是学生的表述是简单模仿？还是正真理解？教师有时候却很难判断。因此，教师在计算教学中不妨引导学生通过画图比较，明悟算理，掌握算法。
片段一：
生：的分母是3，就分成了3列。延长之后就是2行，3×2＝6。就是3行，3×3 ＝9.
师：对，先想想分成几列，再想想几行。那么×该怎样画呢？在脑子里模拟一下画图的过程，想一想一共分成了几列几行？我们取了几列几行？
学生说教师演示：（图略）
生：先分成5列，再分成3行，一共就是15份。就是取2列，就是取2行，我们取了4份。答案就是。
在计算教学中，算理阐述“为什么这样算”，是算法的理论依据。而算法主要解决“怎么计算”，是算理的归纳、提升。学生往往能准确地表述算法，而忽视算理，导致对算法只是简单的模仿、套用。然而，教师需明白内化是高度个人化的行为。因此，教师为了让学生内化分数乘法的算理，除了让学生画图、说图以外，还安排了两次对比：一是引导学生对不同画图方法进行对比，找出画图的每一步骤实质是在表达什么；二是引导学生对图形和算式进行对比，让学生感受到算式就是图形操作的抽象和归纳。学生在图与图的比较中明白“算理”，在图与式的比较中提炼“算法”，使学生从简单模仿转向本质思考。
三、在比较中优化，择“优”去“劣”
《课标》对学生能力的描述从“双基”变成了“四基”，强调了学生要获得基本的数学思想。而优化思想就是其中的一个重要部分，同时也是一个人数学素养的重要组成部分。这就要求我们教师在教学活动中有意识地渗透，使学生经历体验和反思的过程。
片段二：
展示：（图略）
师：你是哪一种画图方法？你现在会选择哪一种画图方法？说说你的想法。
生：选择第1种，因为第一种画法在第二次分的时候，只需要横着延长，一下子就知道一共分成了几份。第二种画法在第二次分的时候，画起来很麻烦。
生：第一种。因为第一种画法先竖着分，再横着分，让人很容易看出来分了两次。
优化的基础是解决方法的多样化。首先教师可以放手让学生去自主探索。学生作为个体，其数学认知具有很明显的个性化特征，所以学生的画法就呈现出多样化，每一种画法都体现了学生对分数乘法的思考。其次教师可以引导学生有效交流，因为每个学生因为数学经验的不同，思维水平的不同，画法就存在优劣差异。这时候教师引导学生有效交流，展示出不同的解决方案。第三教师让学生在比较中去体验优化。学生在之前几次画图表示乘法中有了足够的体验，特别是每次都竖着平均分的同学充分体会到了自己这种画法的繁琐。当这些同学看到“先横后竖”这样的画图方法，听到“分母乘分母，分子乘分子”这样的抽象归纳，一定会眼前一亮，在心中自动完成择“优”去“劣”的过程。
四、在比较中深化，辨“误”改“正”
错例是课堂教学过程中必然出现的现象，可以折射出教师教学的误区，也可以反映出学生思维的误区。我们应该把学生的错误当作一种宝贵的生成资源，通过比较剖析错误，使学生对知识的理解变得更加深刻。如果教师只注重环节流畅而忽视学生错例，只注重表面形式而忽视数学本质，学生对于知识的理解就容易表层化，形成错误概念或者概念含糊不清。因此，教师可以从学生的错例出发，分析学生错误的原因，进而引导学生在比较中建立表象，在比较中抽象本质，深度理解知识。
片段三：
师：比较实物图和同学们的长方形图，说一说实物图中的哪一部分和长方形图的哪一部分对应？我们要表示谁的？所以要把长方形图中哪一部分的分成2份？
生：1瓶水的。这样一列的。
师：对，就是把这样的1列，这样的，再平均分成2份。这样的1列才是这次平均分的单位“1”。
在数学知识的学习过程中，学生要经历表象建立、本质抽象、符号表达等一系列过程，逐步深入，构建出知识框架。在片段中，学生的错误画法说明了一部分学生对单位“1”认识并不清晰，以为整个图形是“1”。这是新知识与旧知识的连接点、生长点，突破这一点学生就对乘法完成了拓展和延伸。通过对比，让学生经历从生活到数学，从图例到图形，从具体到抽象。我们安排正、误几种不同画图方法的对比，既有求同对比，又有求异对比。在对比中凸显了分数乘法的本质，明确了谁是单位“1”，真正把整数乘法拓展到分数乘法。
综上所述，比较教学法作为一种重要的教学方法，能让学生厘清结构，同化新旧知识；能让学生明白理法，内化数学本质；能让学生明辨优劣，优化解决方案；能让学生追溯本源，深化数学理解。当然以上仅是个人的一些粗浅想法，相信通过教师们共同的努力，以后学生的数学素养会得到进一步的提升。
【参考文献】
[1] 徐丽君．浅谈课堂生成资源的有效利用[J] ．小学数学教育2017,(7):48
[2] 张丽雪．类比在小学数学教学中的应用[J] ．小学数学教育2015,(12):28～29
[3] 沈富俤．欲正故误 深化理解[J] ．小学数学教育2014,(12):40～41
[4] 黄伟红．“数形结合”厘清计算背后的道理[J] ．小学数学教育2014,(1):142～143