摘要：在高中数学学习中，圆锥曲线的内容对于许多学生来说是一个令人头疼的问题，但是这一部分的内容在高中数学中占据了相当大的空间，是高考一向的重点难点。要学习好圆锥曲线的有关内容，学生必须克服认知上的困难，加深对相关知识点的理解。APOS理论是建构主义理论下的数学学习理论，它将数学概念的学习分为四个阶段：活动，过程，对象和图式。本文在APOS理论的指导下，划分了圆锥曲线概念学习的四个阶段，调查了高中生圆锥曲线概念学习中的相关现状，描述了学生在圆锥曲线概念学习中所能达到的思维阶段，分析学生学习圆锥曲线概念困难的主要原因，为后期利用APOS理论指导圆锥曲线的概念教学提供参考。
关键词：圆锥曲线；APOS理论；调查研究
前言
圆锥曲线在高中数学学习中占有非常重要的位置，也是高考的必考知识点。许多学生在遇到圆锥曲线问题时会束手无策，在考试中最后一道关于圆锥曲线的问题，学生的得分普遍很低。造成这一问题的主要原因是对圆锥曲线概念的理解存在很多障碍，要突破障碍才能更好地学习。
一、APOS理论概述
APOS是由行为，过程，对象和图式的英文单词的缩写组成的，表示学生对数学概念进行学习时所构造的心理结构的类型，即活动，过程，对象和图式。活动是指个体感知到的外部刺激后进行转变；当学生重复并思考这种行为时，他们不依靠外部持续刺激就能独立进行这一行为，这时学生已经到达了过程阶段；当学生有意识地将过程看做一个整体并能够对这一整体进行操作和实施是，这一整个过程就被压缩成了数学对象。从过程到对象的转移提供了进行更高层次的数学研究的可能性。学生经过长期的学习后，可能到达图式阶段，此时的数学概念以一种综合的心理图式存在于学生的认知结构中，它包含了具体的概念实例，抽象的过程。学生在这一阶段构建了一个完整的知识网络，可判断所接触的问题是否属于这个图式，能对所学概念进行迁移，能区别所学概念与其他概念的区别与联系，可对所学的概念进行加工整合。
二、APOS理论下圆锥曲线概念各阶段的学习目标
阶段 学习目标
活动阶段 能举例说明生活中的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）。
过程阶段 能说明三种圆锥曲线是如何形成的；能说明三种曲线的作图方法；能掌握三种曲线概念中的各要素。
对象阶段 能推导出三种曲线的方程；能说明三种曲线方程中各参量的几何意义；能将曲线作为对象，初步与其他概念整合进行新活动或运算。
图式阶段 能对三种曲线进行对比，说明三种曲线的区别与联系；能对三种曲线的方程加以运算和应用；能解决三种曲线的综合问题，或与其他知识综合的问题；能判断某个问题是否是圆锥曲线问题。
三，APOS理论观点下高中生圆锥曲线概念学习调查结果
本次调查选取了笔者所在学校高二年级3个班的学生作为调查对象，调查时间为圆锥曲线章节学习结束后一个月，调查主要采用了访谈和问卷两种方式。访谈的内容包括学生对圆锥曲线的学习态度、学习信心、学习感受，以及学生对圆锥曲线概念的描述；问卷以习题的形式考查学生对圆锥曲线概念的掌握情况，以判断学生圆锥曲线概念学习所到达的阶段。
现将调查结果进行说明：
（一）学生基本能达到活动阶段
本阶段的调查主要以访谈的方式进行，在与3个班随机抽取的30名对象的访谈中发现，学生均能观察到生活中的圆锥曲线，如：圆柱的斜截面是椭圆，抛掷出的篮球的运动轨迹是抛物线；工厂烟囱的外轮廓是双曲线等。
（二）学生在过程阶段存在较多问题
本阶段的调查也以访谈的方式进行。要访谈过程中要求学生描述圆锥曲线的定义及形成过程，要求学生描述圆锥曲线的作图方法，询问圆锥曲线作图过程中的细节问题，以及三种曲线定义中的各要素。
调查中发现，学生基本能够说出三种曲线的定义，但大多数学生只记住了定义中的关键字，对定义中的细节要求则未加注意。如：忽略曲线定义中“同一平面”的要求；椭圆定义中忽略“距离之和大于焦距”的要求；抛物线定义中“点不在直线上”的要求；双曲线定义中的“绝对值”等等。
出现这类问题的主要原因，就在于学生在活动阶段对三种曲线的操作活动不足，没有从各个角度对圆锥曲线进行操作活动。
（三）学生主要以练习的方式完成对象阶段的建构
本阶段的调查以访谈和问卷的方式同时进行。通过能问卷的分析发现，除去基础实在太差的学生，其余学生基本能够完成对圆锥曲线方程的考查。但也存在一些问题，如：方程式的焦点位置常常被学生忽略，标准方程不同，方程式的图形也不同。有的学生能够做到结合交点坐标写出方程式，但是方程式的的基本形式并不全面。例如，在写抛物线标准方程式时，很容易忽略焦点的负半轴。
调查中发现，学生能够完成圆锥曲线方程的考查，对圆锥曲线方程的推导过程反而不清楚。纠其原因，是因为学生对圆锥曲线方程的掌握主要是通过练习的方式进行强化，在不断的做题中完成对圆锥曲线的建构，而对方程的来源却不重视。这也是过程阶段建构不充分的结果。
（四）只有极少部分同学能达到图式阶段
本阶段的调查以问卷的方式进行。调查发现，只有极少部分同学能形成相关图式。考虑到图式的形成需要长时间的反复学习，因此本次调查主要针对圆锥曲线的初步图式。调查中发现了学生较多问题，如有些学生不太了解圆锥曲线的几何量，容易将椭圆方程和双曲方程混淆；有些学生缺乏分类讨论的思想，在解决双曲线的离心率并已知渐近方程的条件下，许多学生未经计算验证就认为焦点在X轴上；许多学生在解决圆锥曲线与其他知识点综合（如直线）的问题中存在相当大的困难。
三、调查的结果对教学的启示
APOS理论的四个阶段是一个相对连续的过程，四个阶段代表着学生在学习过程中建构概念的四个必经路段。缺少任何一个阶段，或某一阶段建构不充分，对学生学习数学概念都是不利的，都将导致学生概念学习的不完善。我们应在现实生活中让学生对概念进行充分的操作，让学生在头脑中充分经历概念形成的过程，使学生将其形成对象。这一过程是螺旋上升式进行的，中间可能需要进行多次反复。在教学与学习的过程中，应给学生充分的时间与空间，使学生逐步完成对数学概念的建构。而不是一味地以练习或解题的方式使学生学习概念。
注明：江西省教育科学“十三五"规划2019年度普通类一般课题
课题编号：19PTYB172
参考文献
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[3]郭蕤.素质教育背景下高中数学创新意识的培养[J].教育教学论坛，2011（25）