【内容摘要】
画高是在学生认识了平面图形、学习了平行和垂直的基础上进行的。“高”作为一种虚拟线段，对学生以后在平面图形中继续深入地学习具有重要的几何意义。然而，实际的教学过程中高难教、学生画高难却是不争的事实。作者从学生画高错例中分析难点原因，由此提出破解画高难点的方法。
【关键词】 高 画高 素材
【正 文】
“高”是平面图形学习中的一个重要概念，学生从认识平面图形到学习“什么是高，怎么画高”是直观形象到抽象复杂的一个转变，也是他们学习空间图形领域的一次飞跃，它对学生继续学习图形的面积推导和计算起着很大作用。
然而在实际教学过程中，学生对“高”理解不好、画得不好，令我们的教学开展得不太高效。笔者通过访问其他老师，搜集相关的问题，分析造成原因，以及之后的切身进入课堂实践研究，尝试利用长方形纸片这一素材来达到突破画高难点的目的。
一、谈“高”的错例小析
（1）特殊线段即为高
学生还不理解什么是平行四边形的高，他们认为“高”是比较特殊的线段，比如平行线、对角线等。但是，或是由于书本的概念定义，也或许是课堂上对垂直的强调，他们还能给这些“高”做上垂直符号，觉得这样就是“高”了。
（2）底边不水平时不会画，或是需要“底”变水平了才能画
这类学生对高已有了一定的认识，这些认识是建立在实际生活中“高度”的基础上。但遇到以邻边为底时，他们就难以画高，因此出现了一些孩子通过“转本子”的方法。这种方法固然能画对，但是“高”不能全等于高度，可见学生对高的含义没有理解透彻。
（3）平行四边形的高有2条
学生通过直观来回答的问题，因为画平行四边形“高”时我们作为示范画了两种“高”，学生就误以为平行四边形的“高”就只有两条。此类学生虽然会画平行四边形的高，但只是依葫芦画瓢，对高的本质含义还没有理解。
（4）从梯形画高错例中，折射平行四边形高的掌握情况
教材上只给出了什么是平行四边形的高，对梯形的高只简单做了图示，没有出示相关文字。可见，编者是借平行四边形画“高”来迁移梯形的画“高”的。该学生虽然知道“高”是垂直线段，但还没有在平行四边形画“高”中理解：“高”是图形中一组平行线之间的垂线。
从学生错误作业中可以知道：学生对平行四边形的“高”的理解有不到位、还有偏颇，究竟是什么让学生在这问题走了那么多的弯路？
二、谈“高”难点的追根溯源
1.线索一：学生
（1）学生已有知识和“高”
学生学习平行四边形高是建立在学完四边形、什么是垂线、画垂线之后展开的。学习四边形时，学生借助已有经验、依托图形特征能说出它们的特点；学习垂直和平行时，可以找到生活的实例支撑概念形成，这两者的学习难度不大。“高”虽然借助画垂线的知识，但它不是图形中一条随随便便的垂线，而是图形中含有概念的一类虚拟线段，可见学习平行四边形的高与之前的学习并不构成迁移关系，却更像是知识的深入和推开；再者，“高”是平面图形中看不见摸不着的，它的抽象无疑给学生对平行四边形高的理解又加大了难度。
学生找“高”、画“高”那么困难，还是要学好，为什么？
拿小学来说，学生学习画高的根本原因就在于面积单位的形状是正方形。以平行四边形为例来说，其邻边相交成的不是直角，无法让面积单位图形（正方形）密铺。为了克服这个问题，就把平行四边形转化成邻边垂直的平面图形，好让面积单位能正好摆下，所以就有了平行四边形转化为长方形，从而通过计算转化后的长方形来得到平行四边形的面积。所以，找平行四边形的高、画高都是为了接下来学习计算平行四边形面积时，将平行四边形转化为长方形来计算面积做知识储备，而梯形、三角形学高画高的原因也在于此。
（2）学生已有经验和“高”
高度在学生生活中有着丰富的体验：如一座房子有多高，是指它从地面（水平）到它最高点的垂直距离。有了这样的生活经验作为起点，学生找平行四边形“高”可以借助找高度来解决，因此学生对底是水平的平行四边形最容易画高。但是，此“高”非彼高，平行四边形的“高”与生活经验中的高度不能等同，它是一组对边之间的垂线，和底边水平不水平无关。
2.线索二：教材
（1）人教版：直接定义法。
三个版本的对比中我们可以发现，对高都下了文字概念和相关配图，但大概是考虑到难度问题都不约而同地只出示了在水平底边上画高的情况，力求学生结合文字先初步理解什么是高。北师大版本还借助了生活素材，让学生理解什么是“高”时有了具体形象的例子为支撑。但是，关于平行四边形“高”的本质，“高”有两种，“高”的数量等没有提及，是不是书上不提我们就不教？不是的，这恰恰是我们要在教材上挖掘下去的，这些都能为丰富学生理解“高”的含义，否则画“高”就成了照本宣科的任务。
3.线索三：观“高”的各种教学
（1）单刀直入：学生自学“什么是高”
教材对“高”下了明确的概念，为学生看书自学提供了条件。但是，“高”本身的抽象性以及教材对“高”出示一半遮一半的处理，这让我们不免担心学生自己学，到底学到了多少？皮亚杰的认知发展阶段理论表明：7——11岁正处于具体运算阶段，此时儿童发展了有了有条不紊的思维，但是还需要借助于具体对象与活动。让学生自学抽象的概念，不采用其他变“具体化”、变“形象化”的处理，从这个角度去说是有悖四年级学生认知发展规律的。
（2）生活情境：裁长方形木板
为使“高”的教学符合学生的认知规律，用在平行四边形木板中裁出长方形来唤醒学生的生活经验，学生学习“高”也就变得不那么陌生、不那么难以理解。然而，这样的情境素材却也有弊端：
a、学生受到材料限制，能很快画出一种高（下图1）。像另一类高（下图2）一方面无法满足素材的要求，另一方面受到思维定性的限制，学生很难想的到。
图1 图2
b、切木板要在平行四边形内部进行，所以难免会使一些学生产生误解：即平行四边形的高就是在图形内部的，它是有一个长方形范围的。“高”自身作为一条虚拟线段，它的几何意义难以从这个例子中抽离出来。那么，在以后碰到特殊的平行四边形（如下图），学生画高就会遇到困难。
（3）生活经验：借助高度来学“高”
维果斯基的“最近发展区”理论提出：把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验。
把“高”还原为学生头脑中的“高度”，正是借助学生原有的经验来理解高的现实意义，从而推进对画高方法的理解。这样做既增强了学生对新知的亲密度，又提高了学生的兴趣，更是把“高”形象化了。然而这样的理解也容易造成一些误解：如“转本子”法，正是学生为了适应高度而画“高”，这样反而让学生的思维限制在高度里。这样我们就能够理解，上面错例小析中学生以腰为底画梯形“高”实际是他们想画梯形高度。总而言之，完全依托高度来理解“高”，是会产生理解上的偏颇。
从上面分析可看，“高”的难：
1、其本身抽象；
2、教学中其本质还未充分挖掘；
3、难以找到合适的素材将它的概念没有偏颇地表现出来。
因此，要突破画“高”难点，就必须考虑这三方面因素，寻求一个比较合理的教学材料。由此，笔者在实际的教学经验中在呈现“高”的素材方面做了一些自己的尝试，即利用长方形纸片来达到突破难点的目的。
三、谈对策：借助素材，突破“高”难点
1、巧用素材，作为跨越的跳板
拿平行四边形的“高”来说，它实际是两组平行线之间的两种垂线，与水平与否无关，就得避开生活经验——高度对“高”的负影响，从根本上理解。两种“高”，两个方向两种长度，同个方向上“高”处处相等，这不免让我想到“宽度”。
（1）说明规则：出示一张长方形纸
问：如果在这张长方形纸上切两刀，切出一个平行四边形，能办吗？
意见达成一致：画两条平行线，沿它剪出来。
（2）黑板贴出：4份长一样宽不一样的长方形材料、1个平行四边形
问：用刚才切两刀的方法，哪份材料能切出这样大的平行四边形？
大部分学生能利用生活经验很快找出同样水平放置的3号纸片，紧接着眼力好的孩子还能找到斜着放剪下也能办到的4号纸片。
（3）达成共识：以宽度作为选择的标准
在“选择长方形纸片”的课前活动中，一方面利用了学生剪纸经验，另一方面提出宽度，借助纸片宽度作为“高”切入点，由此展开学习。因为学生已有的经验告诉他们：宽度是不用考虑底边是否水平这一因素，而这恰恰避免了高度对“高”的歧义，为下一步“高”概念的揭示埋下伏笔。
2.依托经验，完善知识的形成
借助长方形纸片已经提取出学生对“高”正确理解的生活经验，宽度是一个切入的契机，学生思考讨论怎样表示宽度就成了画“高”的生长点。
（1）探究第一类“高”
问：3号纸片的宽度在哪里？请表示出来
（生1用尺子在上下边之间画了一条线段）
（生2纠正要用直尺摆直，竖着画下）
（生3提出表示宽度的线垂直，应该画垂线）
在全班讨论中修正3次之后达成共识：竖着画下来很有可能不是90°，就不能保证最短，表示宽度就一定要画垂线。
示范画出，揭示“高”
自学：看书P72，回答：什么是高？什么是底？
完整板书：标出对应的底。（图见下页）
（2）探究第二类“高”
有了第一类“高”的画法，第二类“高”虽有一些难度，但是学生凭借着表示纸片宽度的感觉还是找到了。（如下图）
学生头脑中的宽度为“高”孕育出了知识生长的萌芽，表示出宽度就相当于表示出“高”。但是由于生活中一些不规范的表示，学生常会觉得只要把线画直了就是宽度，这是急需讨论纠正的。不过学生已有的知识经验告诉他们宽度不仅要画直还要竖着画直，他们头脑当中的“竖着”为垂直的引入提供了机会。在不断地修正和看书自学中明确：这条表示宽度的线要画成垂线，而画出的这条垂线就是平行四边形的一条“高”，从而形成第一轮的知识完善。
3.对比教学，提炼概念的本质
两种不同宽度的长方形纸片为理解什么是“高”搭起了桥梁，可是此前一直在围绕着宽度和“高”之间，仍处于半形象半抽象的学习阶段。而“高”作为具有几何意义的虚拟线段，我们还需要做的是脱离具体的素材依托，提炼“高”的本质。
问：刚才我们表示出平行四边形的两种高不一样长，但有相同之处吗？
学生达成共识：对边之间画出来的垂线。
接着引导观察对边的关系（相等，平行）
点明：画高就是画对边之间垂线，也可以说成画这一组平行线之间的垂线。
板书：平行线间的垂线（分别画出两种高的本质简图,图见下页）
提炼“高”的本质是很有必要的，这是知识的提升和生长，通过对比得出“高”共性，是学生对其认识从半抽象到抽象概念形成的华丽转身，是一次重要的飞跃。学生深刻理解“高”的本质为他们画“高”找“高”，以及解决“高”的问题，甚至是之后的梯形画“高”都能提供正向的迁移作用。
4.回归反思，“高”其他问题的解决：
（1）问题一：平行四边形有几种高？
刚学完“高”，学生初次回答这个问题是有难度，更多的学生需要自己先在纸上画一画才好回答。然而，剪同一个平行四边形可以两种不同宽度的长方形纸片（不讨论菱形），这两种不同宽度的长方形其实是代表了两种不同的高。让学生回归反思这个素材，他们能感受到最多就只能找到两种纸片，而每种纸片的宽度都是一样的表示的宽度都是同一种，因此平行四边形有两种高。这样，长方形素材又为“平行四边形有两种高”提供了形象的生活经验为思考依据。
（2）问题二：平行四边形有多少条高？
这个问题如果光靠去想，对孩子来说是很抽象的也不好理解。但有了之前平行和垂直的学习，在长方形纸片里画出表示其宽度的垂线，孩子们会知道这是画都画不完的，而这恰好说明同一种高有很多条（下图1）。并且，在画的同时还能说明这条表示宽度的“高”既可以落在平行四边形里面，也可以落在平行四边形外面，只要是画在两条对边之间就行。那么以后接触到图2这样的平行四边形，孩子们也就不难理解辅助线的意义了。（下图2）因此，长方形纸片素材不仅简单而又直观地解决了平行四边形有多少条高，还让学生明白高不一定就只能在图形内部的道理。
图1 图2
（3）问题三：后续学习梯形的高怎么画？
学生借助了长方形宽度来理解“高”之后，对梯形画“高”就能提供正确的迁移。学生在学习时可以回想怎么找平行四边形“高”，从而也利用找合适宽度的长方形纸片去找梯形的宽度，为梯形画“高”提供形象支撑。不仅如此，学生借此材料判断出一个梯形只能有一种高，因为只能选择一种宽度的长方形纸片，即梯形只有一组对边平行。那么，在学生画梯形高时，可以通过想象着怎么摆长方形纸片，找梯形的宽度，从而正确地画出 “高”。
借助长方形纸片，利用宽度这一生活原型让“高”变得生动，变得贴近学生；也能借此为依托，让学生真正理解“高”的含义及本质；还能让“高”比较合理地、正确地植入学生的知识结构中，为后续学习提供正迁移。对于“高”的思考和尝试，让我对它有了更深的认识。以上都是个人粗浅的看法和尝试，不能以偏概全，但是我想通过思考和尝试，借助合适的素材引入，来达到基于学生学情，充分利用经验，透彻理解概念，让学生觉得数学好学、不难，这是我一直追求的不变目标！若有不当之处恳请予以指正，诚谢！
参考文献：
[1]皮亚杰.教育科学与儿童心理学[M].文化教育出版社,1981.203.
[2]余震球.维果斯基教育论著选[M],人民教育出版社,2005.1.