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在思考解题中提升思维品质

发表时间：2020/8/27 来源：《基础教育参考》2020年9月作者：温海兴

[导读] 如果说“审题”是解题的起点，那么“解题思考”却是解题的归宿，在这个环节里，新旧问题、新旧方法、新旧策略之间的同化过程还在继续，从多角度去“思考”解题，这实际上是一个解题学习的强化过程。而这一步往往在数学教学中容易被忽略或没有予以足够的重视，这极大地影响了学生数学思维品质的提高。

温海兴    福建省建瓯市迪口老区中学 353133
【摘要】如果说“审题”是解题的起点，那么“解题思考”却是解题的归宿，在这个环节里，新旧问题、新旧方法、新旧策略之间的同化过程还在继续，从多角度去“思考”解题，这实际上是一个解题学习的强化过程。而这一步往往在数学教学中容易被忽略或没有予以足够的重视，这极大地影响了学生数学思维品质的提高。
【关键词】思考    解题    思维品质    学习策略
中图分类号：G688.2   文献标识码：A   文章编号：ISSN1672-2051 （2020）09-063-02

        《数学课程标准》指出：“使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”数学教学，离不开解题。用什么样的观点对待数学解题，采用什么样的方法去教会学生解题，如何在解题中发展学生的数学思维，培养学生的思维品质，从而形成有效的学习策略，已成为一个广泛而值得探讨的课题。本文想就这一点谈谈自己的看法和体会。
        一、思考解题结果的正误，培养学生思维的严密性和批判性。
        例1：如图1，已知边长为4cm的正方形截去一角成五边形ABCDE，且AF=2cm，FB=1cm，在边AB上求点P，使矩形PNDM的面积最大。
        错解：设PM=xcm，矩形PNDM的面积为y cm2，则y=－x2+5x=－+12.5，∵a=－＜0，
        ∴函数y有最大值。当=5时，y最大值=12.5，即矩形PNDM的面积最大。
        通过反思，学生发现了错误的原因：记住了“当a＞0时，函数y有最小值；当a＜0时，函数y有最大值”，而忽略了隐含条件“函数自变量x的取值范围”，在2≤x≤4内取不到x=5的值，所以矩形PNDM的最大面积为12.5cm2是错误的。正确的解法：应补充函数自变量x的取值范围，进一步求出点P与点B重合时，矩形PNDM的最大面积为12cm2。
        例2：若方程m+(2m-1)x+m+2=0有实数根，则m=           。
        分析：有些同学受到过去解题思路的消极暗示，主观臆断，错误地认为已知方程为二次方程，从而人为地添加了条件m≠0，使解题出错。事实上，m=0符合题意。
        正确解答如下：若m=0，原方程为x+2=0，存在实数根x=-2；
        若m≠0，原方程为一元二次方程，根据题意有△≥0，即
        △=-4m=-12m+1≥0，∴m≤.综上知，正确答案为m≤.
        在解题过程中，由于各种各样的原因，可能出现这样那样的错误，因此，在解题过程是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否以特殊代替了一般，逻辑上是否严密等等，长此以往加以训练和培养，无疑对培养学生思维的严密性和批判性是大有益处的。
        二、思考解题的不同方法，培养学生思维的广阔性。
        对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法。当然，我们的目的不在于去凑几种解法，而是通过不同的观察侧面，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同层次，以冲击思维的单一性，突破知识的固定范围，从而培养学生的思维的广阔性。
        例3：如图3，六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD。已知FD=5cm，BD=4cm。试求六边形ABCDEF的面积。
        简析：求图形的面积是初中数学中重要的题型，也是难题之一，重点是求三角形、四边形的面积。有的直接利用面积公式求，有的通过把图形割、补的方法转化成三角形、特殊四边形的面积的和或差来求。
        解法一：如图3-1，连结AE、AC，设AE与FD交于点O，易证四边形ABDE是平行四边形，
        且△AEF≌△DBC，设OD=x，则OF=5-x。
        ∴=2+=4x+4(5-x)=4x+20-4x=20。
        解法二：如图3-2，连结AE、AC、AD，易证四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥ED ， AE=BD=4，AE⊥DF，同理AC=DF=5，AC⊥BD。
        ∴=+=AE·DF+AC·BD=10+10=20。
        评注：在本例中，解法1通过辅助性把六边形分割成两个三角形和一个平行四边形，再用设参数的方法求得六边形的面积，是比较典型的方案；解法2中巧妙地把六边形分割成两个对角线互相垂直的四边形，又利用“对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半”来求得六边形的面积.
        三、思考解题的基本规律，培养学生思维的概括性。

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        培养学生思维的概括性，是中学数学教学的任务之一，通过解题后的再思考，理清解题的基本规律，是培养学生思维概括性的一种有效途径。
        例4：判断下列各式是否成立？
        ⑴ = 2 ，        ⑵ =3，
        ⑶ = 4 ，      ⑷ =3，
        学生们经过运算，很快就能判断出前三式成立，最后一式不成立。
        同一类型的问题，解题方法往往有其规律性，因此当一个问题解决后，要不失时机地引导学生反思解题方法，认真总结解题规律，力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西，以现在的解决问题的经验帮助今后的问题解决，提高解题能力。又如：
        例5：图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a米，竖直方向的边长均为b米）
        在图5-1中，将线段A1A2向右平移1米到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；
        在图5-2中，将线段A1A2A3向右平移1米到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）；
        1、图5-3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1米，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分；
        2、你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
        3、想与探索：如图5-4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1米），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？
        简析：⑴ 简略如图示； ⑵按常规方法，应分别去计算矩形和阴影部分的面积，再作差。但随着阴影部分图形的复杂，计算难度也加大。因此引导学生用“拆分法”，实际上，每个图形剩余部分的面积就是长少了1米后的新矩形，即为(a-1)b=ab-b，故均为 ab-b；⑶无论阴影部分的现状怎么变，其规律相同，因此草地面积仍为ab-b。
        评注：题目已指明从特殊到一般的递进过程，解题的关键在于归纳和猜想。
        四、思考题目的变换引伸，培养学生思维的灵活性。
        数学问题形式多样，千姿百态，解题者面对新题，活题，没有灵活机智、随机应变，因题制宜的能力是解决不了问题的。怎样培养学生思维的灵活性呢？我认为通过题目的变式、变形、引申，是培养学生思维灵活性的重要途径之一。
        例6：已知如图6-1，点C为线段AB上的一点，ACM、CBN是等边三角形，求证：AN=BM。
        在直接证明原问题后，可改变题目的条件，使图形发生变化，在运动变化中观察相关图形的变化，发现隐含其中的不变量，从中发现规律。
        变式一：如图6-1，上题中当条件不变时，ACM、CBN在异侧时，结论还成立吗？请说明理由。
        变式二：如图6-2，上题中，当条件不变时，点C在AB外时，结论还成立吗？请说明理由。
        这一组变式题，证明过程都不复杂，但通过对原题适当的变形、适度的引申，把一道题变为一类题，使学生学一题会一类题，做一道题会一窜题.
        五、思考题目中隐蔽条件的进一步发掘，培养学生思维的独创性。
        隐蔽条件对解题的作用，我们都很清楚，学生在掌握通性通法后，应进一步引导学生积极寻求题中隐蔽条件，找到打破常规的解法，经常这样训练和思考，无疑能培养学生思维的独创性。
        例7：如图7，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
        分析一：如图，根据题设易得ABC的面积，设正方形零件PQMN的边长为x毫米，根据+=，可得x(80-x)+(x+120)x=120×80,
        解之得x=48（毫米）。（答：略）
        分析二：由题意知△APN∽△ABC，根据相似三角形面积比的性质，得:=PN2:BC2，
        即(PN·AE)(BC·AD)= PN2:BC2，∴PN:BC= AE:AD 设PN=x,
        则 x:120=(80-x) :80, 解得x=48（毫米）
        从上可见，一个数学问题解决之后，启发、引导学生再思考，概括总结解题规律，远比单纯解几道题的意义更大，这样做不仅使学生掌握了解这类数学问题的基本规律，而且使学生受到了由特殊到一般的数学思想方法的训练。通过“思考”，引导学生从特殊到一般，从而推广出一类问题的解决办法，这有利于培养学生的深入钻研的精神，提高思维品质，增进数学素养。
参考文献：
1、张亚静,数学素养:学生的一种重要素质《中国教育学刊》2006.3第66页(总第155期)
2、吴炯圻，林培榕，数学思想方法--创新与应用能力的培养［M］，厦门大学出版社，厦门，第十二章
3、左加林，名师谈数学教与学，［M］，科学普及出版社，北京，第214页