【摘要】弦长问题是圆锥曲线的重点问题，高考试题经常以弦长为切入点，考查面积或周长的范围、最值、定值问题。而过圆锥曲线的焦点弦长又具有其特殊性，可以从弦长公式的多种形式出发、也可以从圆锥曲线的第二定义出发或者从参数方程的角度出发、还可以从圆锥曲线几何关系出发等多种角度解决问题，这样不仅可以拓展学生的视野，形成一题多解意识，达到方法优化目的；还可以让学生形成面对解析几何不仅仅停留在算的表层，更关注运算背后的几何本质的思维意识。本问借用2019届绵阳二诊试题20题(1)问，从弦长公式、第二定义、参数方程、几何关系全面阐述过焦点弦长的解决办法，供大家参考.
【关键词】 焦点弦 弦长公式 第二定义 参数方程 几何关系
试题：已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆C于A、B两点，若，求直线的方程.
解法一：由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，则|AB|=． 因为直线l过点F1(-2,0)，
当直线l的斜率不存在时，|AB|=不合题意（通径）．
设直线l的方程为y=k(x+2). 联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．
由点F1(-2,0)在椭圆C内，所以，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
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说明：此法用弦长公式求解，涉及的概念有椭圆的定义、通径、弦长公式（弦长公式的三种），解题过程中的实施步骤：目标转化；斜率不存在；联立方程组；计算根的存在性；韦达定理解题.注意体会分类与整合的思想，这是通性通法，最一般的解法，也是参考答案提供的解法.
解法二：由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，则|AB|=． 因为直线l过点F1(-2,0)，
当直线l的斜率不存在时，|AB|=不合题意（通径）．
设直线l的方程为y=k(x+2). 联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．
由点F1(-2,0)在椭圆C内，所以，设A(x1，y1)，B(x2，y2).∴ x1+x2=，
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说明：此法充分关注了直线过焦点，所以利用椭圆的第二定义，回避大量计算.
【附】椭圆的第二定义：
1、已知椭圆的左焦点为，离心率，P为椭圆C上任意一点，记P到直线的距离为d，则
2、已知椭圆的右焦点为，离心率，P为椭圆C上任意一点，记P到直线的距离为d，则
3、焦点弦
解法三：设直线的倾斜角为，则直线的方程可表示为为参数，
代入得
由点F1(-2,0)在椭圆C内，所以设A，B对应的参数分别为
，由的几何意义可知
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所以直线l的方程为，或
点评：此法充分利用直线方程中参数t的几何意义求解，同时考虑t的几何意义时，由于A、B在F1的两侧，AB为弦长，与方法一计算量相差不大..
解法四：设直线的倾斜角为，不失一般性，记，，则在中，由余弦定理得
同理
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所以直线l的方程为，或
点评：此方法充分利用解三角形知识求解问题，焦半径公式推广到一般情况可得
总之，椭圆的焦点弦可以从弦长公式角度出发，寻求一般解法；可以从第二定义出发（应用时简要证明），简化计算；可以从参数方程角度出发，加大横向跨度；可以从解三角形出发，积累常用结论.下面试举两例，供大家练习使用.
1. 设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，
“成等差数列”是 “”的 ( )
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
2. 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ）
（A）1 （B） （C） （D）2
3.设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ ）
(A) 6 (B) 2 (C) (D)
4．如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则___________;
5.设F为椭圆的右焦点，A、B、C为该椭圆上三点，若，
则|FA|+|FB|+|FC|=
6.已知P是椭圆上一点，且在x轴上方，F1， F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为，求三角形PF1F2的面积.
【参考答案】ABB 35