摘要：本文简要列出了椭圆和双曲线的第三定义的基本表达及在此基础上推导出中心弦性质，而后基于此探讨了圆锥曲线第三定义对于解题过程中化简运算的作用及价值，并通过典型题例对此进行了呈现。在平时教学中，一线教师要能够使学生切实掌握圆锥曲线第三定义及性质，并注意利用一些典型题目让学生在练习中加深体会。
关键词：高中数学；圆锥曲线；化简运算；教学心得
在高中数学习题教学中，利用圆锥曲线第三定义化简运算是重要议题之一。以下结合笔者的教学实践体会对此作一较为系统的探讨，供高中师生参考。
一、掌握基础：圆锥曲线第三定义的数学表达
所谓圆锥曲线的第三定义，在人教A版教材中是由选修1-1第36页练习题4引出来的，由于其运用频率较高，且对于很多题目来说可谓是快速解题的关键，故历来很受重视，这从“第三定义”这一称谓就可看出来。其中椭圆的第三定义的基本表达为：在椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中，A、B是关于原点对称的两点，M为椭圆上异于A、B的一点，如果存在kAM×kBM，那么有kAM×kBM=e2-1=-b2/a2；双曲线第三定义的基本表达为：在双曲线C：x2/a2-y2/b2=1(a>b>0)中，A、B是关于原点对称的两点，M为双曲线上异于A、B的一点，如果存在kAM、kBM，那么有kAM×kBM= e2-1=b2/a2。前者可通过构造△MAB的MA边所对的中位线PO，利用kMA=kPO，由点差法来证明，后者则在此基础上把椭圆中的b2都换为-b2即可得证。除此之外，我们还可以换一种表达方式，即：
椭圆的第三定义：①已知A（-a，0），B（a，0），如果kAM×kBM=-b2/a2（a＞b＞0），那么点M的轨迹方程为x2/a2+y2/b2=1；①已知A（0，-a），B（0，a），如果kAM×kBM=-b2/a2（a＞b＞0），那么点M的轨迹方程为y2/a2+x2/b2=1。值得指出的是，如果kAM×kBM=-1（即a=b），那么点M的轨迹方程即为x2+y2=a2，是一个圆。
双曲线第三定义：①已知A（-a，0），B（a，0），如果kAM×kBM=b2/a2（a，b＞0），那么点M的轨迹方程为x2/a2-y2/b2=1；②已知A（0，-a），B（0，a），如果kAM×kBM= b2/a2（a，b＞0），那么点M的轨迹方程为y2/a2-x2/b2=1。
从解题实践来看，上述两种表达方式都很重要，教师要注意加以强调，使学生全面理解并切实掌握，从而打下应对各种题目变式的基础。
二、延伸推广：在原有基础上掌握“中心弦性质”
在上文中我们简要列出了椭圆和双曲线的第三定义的基本表达，而解题实践证明，要想利用第三定义最大限度地化简运算，亦有必要在原有基础上进一步延伸推广，即由第三定义推到出所谓的中心弦性质：当|AB|为曲线的任意一条中心弦时，结论仍然成立。其基本的表达形式为：
椭圆：①如果M是椭圆x2/a2+y2/b2=1上任意一点，|AB|是椭圆的任意一条中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2；②如果M为椭圆y2/a2+x2/b2=1上任意一点，|AB|是椭圆的任意一条中心弦，那么kAM×kBM=-b2/a2。
双曲线：①如果M是双曲线x2/a2-y2/b2=1上任意一点，|AB|是双曲线的任意一条中心弦，那么kAM×kBM=b2/a2；②如果M是双曲线y2/a2-x2/b2=1上任意一点，|AB|是双曲线的任意一条中心弦，那么kAM×kBM=a2/b2.
上述推论是不难证明的，我们这里主要探讨利用圆锥曲线第三定义化简运算，可以说，到这一步圆锥曲线对于化简运算的作用及价值就比较明晰了。学生若能熟练掌握圆锥曲线第三定义的两种基本表达形式以及在此基础上推出的中心弦性质，则在遇到相关问题时，就可直接使用，这就在很大程度上减少了思维量与运算量，当然，严格来说，圆锥曲线的第三定义及关于中心弦性质的推论并不是教材上明确给出的现成规律，但即便是在解答要求写出详细过程的大题时，也只是需要简单写一下证明或推导过程，其间需要耗费的思维量是大大减少了，这就提高了解题速度和正确率。实际上，学生若能切实掌握第三定义及中心弦性质并能结合具体题意灵活运用，在面对很多题目时一眼就能看穿题目的实质，从而大大简化解题过程及运算量。这是彰显圆锥曲线第三定义对化简运算的作用和价值的典型表现，相信有经验的教师和学生都有过类似体会。
此外，我们认为有必要在此指出的是，从更深层次的意义上来说，所谓圆锥曲线的第三定义及其关于中心弦性质的推论，其本质实际上也就是另一种表示双曲线特点及性质的形式，不过是由于题目形式需要变化，出题人出于对题目变式的追求和探索而催生出所谓第三定义即中心弦性质。而让学生将其当作现成规律来用，自然就可以大大化简解题过程及运算量。这一点很少有人指出，值得我们注意。下面我们通过具体的题例来体会圆锥曲线第三定义对化简运算的作用及价值。
三、题例展示：圆锥曲线第三定义对简化运算的作用
题例1：双曲线C的轨迹方程为 x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0），左右顶点分别为M、N点P（x0，y0）（x0≠±a）为该双曲线上的一点。若直线PM和PN的斜率之积为 1/5 ，则双曲线的离心率是（）。
解析：这道题考查的是对双曲线第三定义的运用，由第三定义可直接得到：b2/a2=1/5，从而求得双曲线的离心率。
题例2：如图，在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆x2/a2+y2/b2=1，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作 轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，PA⊥PB.求椭圆的离心率．
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解析：设P（x0，y0），则C（x0,0),A(-x0，-y0)，直线PA的方程为y=(y0/x0)x，又PA⊥PB，可得到直线PB的斜率为-x0/y0，又根据第三定义推广中是中心弦性质可知kPB·kAB=-b2/a2，可得kAB=b2y0/a2x0.因为点C在直线AB上，所以kAB=kAC=y0/2x0，得到y0/2x0=b2y0/a2x0，b2/a2=1/2，c2/a2=1/2，由此求得离心率e为√2/2.
题例3：已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率e=√3/2，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB斜倾角分别为α，β，则|tanα﹣tanβ|的最小值为（）.
解析：根据椭圆第三定义可知kPA·kPB=-b2/a2=-1/4，所以tanα·tanβ=-1/4，|tanα-tanβ|=|tanα|+|tanβ|≧√|tanα·tanβ|≧1,当且仅当tanα=tanβ时取等号，所以|tanα-tanβ|的最小值为1。
可以看到，以上三个题例几乎一样，在合理运用第三定义及中心弦性质的情况下题目会变得非常简单，思维量和运算量大大减少，否则的话就很难正确而快速地得到答案。这就要求我们在平时教学中一定要使学生切实掌握圆锥曲线第三定义及性质，并注意利用一些典型题目让学生在练习中加深体会。
如上，本文简要列出了椭圆和双曲线的第三定义的基本表达及在此基础上推导出中心弦性质，并基于此探讨了圆锥曲线第三定义对于解题过程中化简运算的作用及价值，即学生若能熟练掌握圆锥曲线第三定义的两种基本表达形式以及在此基础上推出的中心弦性质，则在遇到相关问题时，就可直接使用，这就在很大程度上减少了思维量与运算量。对此一线教师应有一个明确而清晰的认知，并在平时教学中使学生切实掌握圆锥曲线第三定义的运用。
参考文献：
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