看得到的未必说得出,想得出的未必说得顺,解得对的未必说得清,学生解决空间类题目的策略有时靠的是直觉,有的是经验使然,缺乏有效的梳理和科学的推理,因此要求学生用精准的语言叙述来表达出自己的解题思路,能够反映出学生当时的思维现状,或者说思维层次和空间能力层次,要是有短板或盲点也能暴露出来,同时在听取他人的语言叙述时也能为自己的空间能力方面的知识查漏补缺,重点在于策略和思路、经验与积累。
1. “看得到”也要“说得出”
直觉很重要,对于立体几何来说,观察能力很关键,但是怎样的观察才是有效的,观察的角度、观察的切入口、观察的细致度等是体现观察能力重要的指标,学生“看得到”的需要经验积累和观察方法的支持,所以 “说得出”刚好能够帮助学生提升观察能力,有序的、有效的、精准的“说得出”与高效的观察能力相辅相成,共同发展。
为了了解学生对于正方体的表面特征和空间位置的掌握,我安排了这样一个题目进行训练,要求学生算出答案,并把自己的想法写下来:
一个棱长为6厘米的正方体木块,把它的表面涂成红色,再把它切成棱长为1厘米的小正方体木块,那么:(1)1面涂色的有几个?(2)2面涂色的有几个?(3)3面涂色的有几个?(4)没有涂色的有几个?
设计这个题目的在于让学生在掌握正方体的表面特征的前提下(6个面、12条棱、8个顶点),能够利用这个特征来解决这个题目,而且能够选择最为有利的方式来解决题目。譬如2个面涂色的计算:首先应该清楚表面涂色,那么2个面涂色的小正方体应该是两个面的相交之处,也就是棱所在的位置,而且要排除顶点所在的的小正方体,也就是每条棱上有(6-2)个2面涂色的小正方体,一共就有4×12=48个。
根据学生的训练结果,错误主要集中在2面涂色的和没有涂色的,观察学生的思路(写下来的解题思路),其实造成这种错误的原因在于:学生对于正方体的表面特征与2面涂色的小正方体的位置关联没有很清楚,有的学生以为正面的四条边上有4×4=16个,后面还有16个,有学生把2面涂色的定位在面上不是最佳的策略,所以造成了错误。
训练之后,我让做对的学生把自己的想法(不同策略)在投影上分别投出来,读一读,看一看,再想一想,然后在小组里让有错的学生进行再次分享,借助他山之石和自己的再次梳理,使其在小组成员的帮助下,在掌握正方体表面特征的前提下,选择最为方便的形式有序解决题目。
2. “想得出”必须“说得顺”
学生在解决正方体表面特征有关题目时,有时可以根据直觉或者经验,又或者是猜测能够迂回千百回得到正确答案,有时得到答案的策略是正确的,但是无法说出口,理不顺,有种“只能意会而无法言传”的无奈,究其原因,其实是对于正方体表面特征的理解和空间位置感的对应出现了偏差,或者说无法完美的融合应用。
譬如,我安排了这样一个题目进行训练,要求学生不仅要得到答案,而且要把自己的想法写下来:一个正方体的六个面分别写着1、2、3、4、5、6,下面三幅图是这个正方体不同的摆法,请问这三幅图左边的三个面的数字之和是多少?
设计该题的目的在于了解学生在掌握正方体的表面特征前提下,对于面与面之间的空间位置感存在怎样的问题?或者说如何更进一步理解正方体的运动与空间位置变化的关联。譬如:图1和图2之间的变化(面的位置变化)与正方体如何运动产生关联,图1和图3道理也一样,学生能够感觉到,能够得出结论,但是不一定说得顺,说不顺的主要原因在于不能够清楚的把相应的知识或现象进行关联。
说得比较顺的主要有两种思路,一种是找出相邻的面和相对的面的特征,任何一个面都有4个相邻的面,1个相对的面,例如:分析2、3两图,标号为“3”的面相邻的有“1”、“2”、“4”、“6”4个面,很简单地推导出“3”号面相对的面是“5”,同理可得“1”号相对的面是“4”,那么“2”号对应的是“6”号面;第二种是从动态的角度来观察,例如:观察图1和图2的面的关联,如果图1的上下底面不变,正方体向左转动一次,就可以得到图2,所以可以得到“1”和“4”是相对的面;源于对这两种思路清晰到位,所以学生的解题过程描述就会很到位,很有序,反之,要求学生能够顺利地描述出解题的思路或过程,这样更有利于空间观念的培养。
接下去的分享和实践操作也很重要,不同学生的不同解题思路机会带给学生更多的启发,1+1要远远大于2,学生得到的正确结果不能满足自己的求知欲望,当分享结束后,一位学生的发言赢得了全体学生的掌声:观察图1和图2,“2”都处于上面,那么与“2”相邻的就是前、后、左、右4个面,其中前与后、左与右分别相对,“1”和“4”都与“3”相邻,那么“1” 和“4”必定相对,再观察图2和图3,与“3”相邻的是“1”、“2”、“4”、“6”4个面,其中“1”和“4”相对,所以“2”和“6”也必定相对,那么剩下的“3”和“5”就必定相对。这位学生带给我太大的惊喜,训练时,她的描述不是很顺,但是现在的发言条理很清晰,分析很全面,逻辑性很强,很明显,对于正方体面的特征和面与面之间的空间位置感有了明显的提升。学生的发展具有无限可能,给予学生学习的机会,给予学生学习的平台,给予学生展示的空间,学生会有更多令人惊喜的创造。
3. “解得对”更要“说得清”
学生在解决正方体表面特征相关类型的题目时,有时因为考虑问题的不够全面或者对正方体的表面特征的理解与题目的关联性不够不够明确,从而产生一定的错误,所以在对正方体的表面特征相关类型题目进行训练时,要求学生先行描述清楚题意和解题方向,有利于提高学生的空间观念,提高解决问题策略的有效性和准确性,“解得对”和“说得清”是相互依存,共同发展的好伙伴。
譬如:我安排了真这样一个题目,要求学生在解决问题前,先行梳理题意,在说清楚题意的前提下,再独立解决问题:
一个正方体,棱长为6厘米,如果在表面切除一个棱长为3厘米的小正方体,那么剩余部分的表面积为多少?
设计这个题目的目的在于,让学生弄清楚正方体的表面特征、顶点、棱的特征,理解“两面交于棱、三面交于顶点”的实际意义和空间位置感,理解表面切除一个小正方体后剩余部分的表面积与小正方体所处位置的不同相关联,;理解由于小正方体所处位置的不同而产生的剩余部分表面积的特征与“两面交于棱、三面交于顶点”的空间位置的关联性。“说得清”的实际含义和教学指向性就在于此。
能把三种答案解出来的学生大多说得清楚,也就是学生对于三种情况分析得比较清楚、到位,对于小正方体所处位置的不同而产生的图形的特征分析的比较到位,对于小正方体面的变化(增加与减少)分析得比较清楚,譬如:小正方体在顶点(三个面交界处),少了3个面,多了3个面刚好抵消,所以与原正方体表面积一样(6×6×6=216平方厘米);小正方体在棱上(两个面交界处),少了2个面,多了4个面,合计多了2个面,所以表面积比原正方体多2个面(6×6×6+3×3×2=234平方厘米);小正方体如果在面中间,则少了1个面,多了5个面,所以表面积比原正方体多4个面(6×6×6+3×3×4=252平方厘米)。
分享该题的解题思路后,对于三种情况,大部分学生容易接受 “切除的小正方体的不同位置而产生的的图形的表面积的不同”这几种不同的答案,但是解决问题的策略选择是其中的关键,大部分学生的分析叙述(上段所述)学生不太容易理解或者不太清楚,于是我提供了两种策略,第一种:把三种情况的实际图展示出来,如右图:
让学生观察与比较(结合上段的叙述);第二种是提供反向的思路,想象把小正方体放入上述三个图,小正方体的6个面的不同显现情况,也就是拼入大正方体后,哪几个面看不见了,就是剩余图形多出来的面,哪几个面看得见,就是原来大正方体少的几个面,两者之和就是小正方体的6个面,两者之差就是剩余部分的表面积与原正方体表面积的差。这样一来学生对于这个题的思路就会很清晰,即“解得对”又“说得清”。