摘要：矩阵是线性代数的一个重要组成部分，矩阵的初等变换在线性代数中的作用至关重要，文章基于矩阵的初等变换，举例说明矩阵的初等变换在求逆矩阵、求矩阵的秩等多方面的应用。
关键词：矩阵；线性代数；初等变换
线性代数是大学数学的一个重要的组成部分，理工科学生的必修数学课程之一。矩阵是线性代数中一个最重要也是最基本的概念，真正理解并且熟练掌握它是学好线性代数的关键。矩阵的初等变换又是线性代数中不可或缺的内容，目前我们使用的大多数教材在对初等变换介绍时，矩阵的初等行变换和初等列变换都会讲解。但是，在赵怡欣等人对矩阵的初等变换应用研究时，大部分只用了初等行变换[1-3]。很多同学可能就有疑问，在解决问题是可以用初等列变换吗？答案是肯定，下面我们用具体的示例来说明。首先给出相关的定义。
一、矩阵的初等变换
定义1[4]：对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
(1)交换矩阵的两行（列），记为；
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(2)以一个非零的数乘以矩阵某一行（列）的所有元素，记为；
(3)把矩阵的某一行（列）所有元素的倍加到另外一行（列）对应的元素上，记为。
初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换都是可逆的，且逆变换也是同类的初等变换。
定义2[5]：我们称矩阵为一个行阶梯形矩阵，它具有以下特征：
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(1)元素全为零的行（简称零行）位于非零行的下方；
(2)各非零行的首非零元（即该行从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）。
定义3[5]：我们称矩阵为一个列阶梯形矩阵，它具有以下特征：
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(1)元素全为零的列（简称零列）位于非零列的右方；
(2)各非零列的首非零元（即该行从上到下的第一个不为零的元素）的行标随着列的增大而严格增大（即首非零元的行标一定不小于列标）。
二、矩阵的初等变换在线性代数中的应用
（一）用初等变换求逆矩阵
如果方阵可逆，可经过一系列初等行（列）变换化为，则存在初等矩阵，使得
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上式两边右乘，则有
(1)式和(2)式表明，将施行一系列初等行变换化为，则对施行相同一系列初等行变换化为，即也可以利用初等列变换，即
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解法二
（二）用初等变换求矩阵的秩
初等变换不改变矩阵的秩，求一个矩阵的秩，只需用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，则其非零行的个数便是矩阵的秩；或者用初等列变换把矩阵化为列阶梯形矩阵，则其非零列的个数便是矩阵的秩。
（三）用初等变换求解矩阵方程
矩阵方程有三种类型，下面分类讨论用初等变换如何求解。
类型一：（是可逆的方阵）
对矩阵进行初等行变换,化为，则可逆，且
例2
解
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类型二：（是可逆的方阵）
对矩阵作初等列变换，化为，则可逆，且.
例3 解矩阵方程
解 上式可写成，对实施相同的列变换
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得
类型三 （均为可逆方阵）
解此类矩阵方程，可以首先对矩阵进行初等行变换，化为，即把方程变为;其次对矩阵进行初等列变换，化为，即.或者先对矩阵进行初等列变换，化为，即;然后再对矩阵进行初等行变换，化为，即.
（四）用矩阵的初等变换求解线性方程组
例4 求的全部解。
解 对增广矩阵进行初等行变换
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参考文献：
[1]赵怡欣,刘陆军.矩阵的初等变换应用研究[J].教育教学论坛,2017(25):228-229.
[2]缪应铁.矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[J].数学学习与研究,2018(17):24.
[3]常秀芳.初等变换PK矩阵方程的解法[J].河北北方学院学报（自然科学版），2019,35(03):7-10.
[4]唐晓文,王昆仑,陈翠.线性代数（第二版）[M].上海：同济大学出版社,2012.
[5]戴斌祥.线性代数（第三版）[M].北京：北京邮电大学出版社,2018.5.