一:利用韦达定理:
二:利用函数值的正负变化讨论方程的根
定理 1:方程 a x + b x + c = 0 (a ≠ 0 ) 的两实数根都大于实数k 的等价条件:
Δ≥0, （x－k ）＋（x－k ）＞0 ,（x－k ）（x－k ）＞0 ,
例1:已知方程x－11 x＋（30＋m）＝0 有两实根.并且两根都大于5,求n的取值范围
解:根据定理1,则必须满足条件:
定理 2: 方程 a x + b x + c = 0 (a ≠ 0 ) 的两实数根都小于实数k 的等价条件:
Δ≥0, （x－k ）＋（x－k ）＜0 ,（x－k ）（x－k ）＞0 ,
例2:若方程x＋(k＋3)x＋2k＋3＝0的两根都小于4,求k的取值范围.
解:根据定理2,则必须满足条件:
∴k ＞3或 － ＜ k＜－1
定理 3: 方程 a x + b x + c = 0 (a ≠ 0 ) 仅有一个 实根属于(-k , k) 且 -k ＜ k ) ;范围内的等价条件是:
f(-k ) f (k ) ＜ 0 ;(其中f(x ) = ax + bx + c ) ж (-k , k ) 为一个区间;
例3:已知关于x的方程 3x －5x＋a＝0 的两根满足 －2＜x＜0, 1＜x＜3 ,求实数a的取值范围:
解:f (x)＝3x－5x＋a 根据定理3必须满足:
解得: －12 ＜ a＜0
定理4:方程ax＋bx＋c＝0 (a≠0) 的两根均属于( k , k )内的等价条件是:
例4:m为何实数时,方程(1－m )x＋2mx－1＝0的两根都在0与1之间:
解 :方程有两个根 ∴1－m≠0有两种情况:
（Ⅰ）1－m ＞0 即 －1＜m＜1 如图:
无解
（Ⅱ）1－m＜0 即 m＜－1 或m＞1 如图(略)
即
得m＞0 综上所诉:m＞2时,方程两根在0与1之间
定理5:对方程:ax＋bx＋c＝0的一个根大于k,另一根小于k的等价条件是:
a f (k)＜0
例5:求证关于x的方程:(x－m)(x＋n)＝1有两个实根且一根大于m , 另一根小于 m
证明:设f(x)＝(x－m)(x＋n)－1 则f(m)＝－1 a＝1
∴ af(m)＝1×(－1)＝－1＜0
由定理5立即得证:
事实上其二次函数的二次项系数为正:抛物线开口向上,而点P(m , －1)在x轴下方, 故抛物线与x轴有两个交点,且与x轴的交点在x＝m的左右两侧.由方程根的几何意义知原方程必
有两实根.且一根大于m , 另一根小于 m。以上仅供同行参考和同学们学习借鉴。