摘要：直线与曲线只有一个交点，不能判断两者之间相切，相切也不能说明只有一个交点。函数的极值点有可能是导函数为零的点，或导函数无定义点。
关键词：函数几何意义；函数极值
在中学阶段，导数的工具性作用非常明显，特别是用导数来研究函数图像和性质非常方便、快捷。下面简单的谈谈用导数研究函数的切线与极值问题中的几点注意事项。
一、切线问题
函数的导数几何意义表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。应用函数的导数几何意义求函数的切线问题，在理解和应用上主要存在两方面的难点，一是“求函数在某一点的切线方程”和“求函数过某一点的切线方程”理解的混淆；二是由圆的切线想当然的认为“直线与曲线只有一个交点是直线与曲线相切的充要条件”的理解误区。
例：已知函数y=x3,
（1）求此函数在点A（1,1）处的切线方程；
（2）求此函数过点A（1,1） 的切线方程。
解:(1)由y=x3,得y/=3x2
所以在点A（1,1）处的切线方程的斜率k=y/|x=1=3
所以函数y=x3在点A（1,1）处的切线方程为
y-1=3×(x-1)
即函数y=x3在点A（1,1）处的切线方程为3x-y-2=0
(2)由y=x3,得y/=3x2
设函数y=x3在点（x0,x03）处的切线方程经过点A（1,1）
即是y-x03=3x02(x-x0)经过点A（1,1）
带入1-x03=3x02(1-x0)，解得x0=1或x0=-
所以所求切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0
小结：（1）求函数在某一点的切线方程，这一点就是所求切线与函数的切点，只需用导数求出相应斜率，就可以写出切线方程。
（2）求函数过某一点的切线方程，这一点不一定是所求切线与函数的切点，所以应该设出切点（x0,f(x0)），表示出切线方程，带入“过”的已知点，求出x0，再带回表示出切线方程，最后化简得出所求切线方程。
（3）由（1）的结论可知函数y=x3在点A（1,1）
处的切线方程为3x-y-2=0，联立方程求解，易知交点为（1,1）和（-2，-8），所以说明，曲线的切线与曲线不一定只有一个交点，同样易知直线与曲线只有一个交点，也不能说该直线就是曲线的切线。从切线的几何意义可知，切线是曲线在某一局部的割线的极限情形。
二、极值问题
在函数的极值理解上的注意点：
（一）函数的极值与函数的最值混淆。
它们联系在于，都需要考虑函数的单调变化情形，在一个闭区间上，函数的最值一定是在端点值或极值处取得。
区别在于：
1.最值是在函数的整个定义域上作比较的，而极值可以在函数的某一子区间上作研究，是一个局部概念。
2.函数在一个闭区间上一定有最值，但不一定有极值，极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
3.一个函数在给定区间上存在最值或极值，那么它的最大（小）值得个数是惟一的，而它的极大（小）值的个数可能是不惟一的。
4.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。
如下图在不同区间上，结论是不相同的。
（二）对具体函数作极值研究时，要树立建模思想，注意概念的理解和计算的流程，灵活采用数形结合分析，才能准确判断并找出函数的极值点。
1.连续可导函数。
例：判断函数y=x3是否存在极值？
析：因为y/=3x2≥0,易知y=x3在定义域上是一个增函数，若令y/=0,解得x=0，易知x=0不是该函数的极值点。所以函数y=x3不存在极值。
小结：使得f/(x0)=0的点x=x0不一定是函数y=f(x)的极值点
小结：对于连续不可导函数y=f(x)的极值点有可能是f/(x)=0无定义点。
【变式】已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，求a,b的值。
经检验，a=3,b=-3不符合题意，舍去。
所以a,b的取值为a=-4,b=11
小结：对于连续可导函数y=f(x)，定义域上f/(x0)=0只是在点x=x0取极值的一个必要不充分条件，不是充要条件。
综合分析上述例题可知连续函数函数y=f(x)的极值点，为使得f/(x)=0或f/(x)=0无定义的点。要准确的判断或计算函数y=f(x)的极值，一般遵照以下步骤进行：（1）求出函数y=f(x)的定义域；（2）求y=f/(x),，求出令f/(x)=0或f/(x0)=0无定义（连续不可导）点x的取值x=x0；（3）判断x0两侧的单调性：（4）根据x0两侧的单调性判断x=x0是否为函数y=f(x)的极值点及是什么极值点；（5）把x=x0带入y=f(x)，求出函数y=f(x)极大（小）值y=f(x0)。特别是涉及极值的逆向问题，不要忘记检验。
3.不连续函数。
由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，可理解为，函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值；如果附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
如：函数
此函数在x=0点不连续.根据极值的定义,在x=0的去心邻域内 f(x)<1=f(0)所以,f(0)是极大值.
又如函数
同理此函数在x=0点不连续.根据极值的定义,在x=0的去心邻域内 f(x)<0=f(0)所以,f(0)是极大值。
再如函数
x=0不是函数的一个极值点。
中学阶段对于不连续函数的极值的研究，主要根据极值定义采用极限思想或数形结合思想进行综合的分析判断。
总之，导数是用来研究函数的单调性、极值、最值，进一步探讨函数的图像、零点、 切线及方程的根的个数问题，不等式的证明等非常重要的一个手段。但在具体操作时，一定要注重知识细节，警惕易错点，树立数学建模思想，真正发挥导数价值，达到事半功倍的效果。