摘要：线段垂直平分线、角平分线是初中数学几何中的重要模型，在几何证明题中考查频率较高。而这些模型通过辅助线构造之后进行考查的形式较多。本文从相关基本模型出发，深入分析，进而引导学生在较复杂的几何证明题中如何借助辅助线构造模型，分析问题、解决问题，培养学生的逻辑推理学科素养。
关键词：线段垂直平分线；角平分线；逻辑推理
几何证明是数学课程的重要组成部分，特别是常见基本模型在历次考试，是出题人钟爱的对象。如：线段垂直平分线、角平分线等模型更是高频考查模型。本文通过剖析基本模型的内容和作用，引导学生在较复杂的几何证明题中分析问题、借助辅助线构造并应用基本模型解决问题。逐步培养学生的逻辑推理能力，提升学生解决问题的能力。
一、熟悉基本模型内容、应用格式及作用
1、线段垂直平分线
（1）性质定理
文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
图形语言：
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几何语言：∵点P在AB的垂直平分线上
∴PA=PB
作用：①证明线段相等；②判定三角形形状；③证明角相等。
（2）判定定理
文字语言：到一条线段两个两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
图形语言：
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几何语言：∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线上
作用：①证明点在线上；②构造线段垂直平分线的性质。
2、角平分线
（1）性质定理
文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
图形语言：
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几何语言：∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
作用：证明线段相等。
（2）判定定理
文字语言：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
图形语言：
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几何语言：∵ PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB
∴ OP平分∠AOB
作用：判断点是否在角平分线上。
二、解读题目内容，构造基本模型
在学生熟练掌握基本模型的内容和应用条件及格式的基础上，如何让学生能够准确地解读题目内容，分析问题，借助辅助线构造基本模型，从而解决问题？作为老师可以通过以下几步训练学生的逻辑推理能力。
1、熟读题目，勾画关键点，解读出题意图，把握考查知识点。
2、联想联系相关知识点的内容、应用条件及格式。
3、联想相关知识点的延伸性质或模型，判断题目中的条件是否能够得到相应结论，添加合适的辅助线。
4、注意解题步骤中，各部分之间的逻辑联系。
下面就以具体问题为例，引导学生分析问题、解决问题，培养学生的逻辑推理能力。
如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G.
求证：BF=CG.
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提问1：要证明两条不在同一条直线上的线段BF和CG相等，可以借助什么图形进行证明？
答：全等三角形。
提问2：如何构造全等三角形？
答：连接BE，CE。
提问3：BF和CG所在的三角形是什么三角形？可以利用什么判定方法证明它们全等？
答：直角三角形。借助角平分线和线段垂直平分线的性质得到EF=EG，BE=CE，用“HL”方法判定Rt△BEF≌Rt△CEG。进一步由全等三角形的性质得BF=CG。
当然，一开始要以基础题型和容易看出做辅助线的题型为主。在刚开始引导学生时，学生回答相关问题的过程中，答案可能并不十分准确，甚至答非所问。但经过一段时间的专题训练，学生的逻辑思维能力明显有所提升，逻辑推理的学科素养也准备培养起来。
对于学有余力的学生，在选择题目时也要注意梯度合适，同时注意培养优生的“一题多解”的意识和能力。如下面的问题就能利用辅助线解决问题，同时方法较多。
已知：在四边形ABCD中，BC>BA，∠A＋∠C=180°，且∠C=60°，BD平分∠ABC.
求证：BC=AB＋DC.
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方法1：过D作DE⊥BA于E，过D作DF⊥BC于F。方法2：在BC上截取BE=BA，连接DE。
方法3：在CB上截取CE=DC。
上面的三种方法在解答过程中，都考查到了角平分线的性质、全等三角形等相关知识点。
后期，还要在解题步骤的合理安排上再进行强化训练，才能使学生在应试时，答题才能事半功倍。提高答题的速度和正确率。
三、常见模型，总结归纳
对于角平分线、线段垂直平分线相关知识的考查，很多时候会在等腰三角形的背景下进行。等腰三角形的“三线合一”性质完美地考查了这两个知识点，所以结合等腰三角形背景图形的题目，常作的辅助线是：作底边上的高、中线或顶角的角平分线。这一类的经验辅助线也要在平时遇到时，不断强化作辅助线的意识。比如下面的题目：
如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是 .
分析：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC于F.通过构造的等边三角形、等腰三角形“三线合一”、含30°锐角的直角三角形的性质解决问题.
初中阶段线段垂直平分线、角平分线是几何题的常见模型，借助辅助线构造模型更是常考的方式。加强学生对这两个知识点的基础练习和专题练习，使学生熟练掌握并应用，对于培养学生逻辑思维和推理能力特别有效的手段和途径。当然，培养学生的逻辑思维和推理不限于这两个模型，在其他类型题目的解答过程，培养学生准确解读题目内容、分析题目联系联想相关知识点或条件是培养学生这一学科素养的通法。本文仅仅就线段垂直平分线和角平分线这两个模型，及其综合模型——等腰三角形作具体培养过程举例，仍要在后期的教学过程中不断发掘新的题型。
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