摘要：在证明经典的Grownwall不等式基础上，拓展了非负常数k为非负函数的情况并给予证明，最后使用该不等式证明微分方程解的唯一性定理。
关键字：证明；Grownwall不等式；唯一性；应用
Gronwall（格朗瓦尔）不等式是常微分方程课本中的一个重要不等式，经常被用来求微分方程解的取值范围和不等式证明，比如,它可以用来证明微分方程初值问题解的唯一性和解的不等式性质等问题。它与Holder不等式一样，分别具备离散形式与连续形式。本文给出了该经典连续形式不等式和推广后的证明方法及应用。
一、经典Gronwall不等式的证明
二、经典Gronwall不等式的推广
如果把经典Gronwall不等式中非负常数这个条件改为非负函数,就可以把该不等式进行更深层次的推广，经过推广可得定理2：
三、Gronwall不等式在解的存在唯一性定理中的应用
引理：
函数满足利普希茨（Lipschitz）条件,如果存在常数
使得不等式
对于所有
都成立。L称为利普希茨（Lipschitz）常数.
定理：（存在唯一性定理）
证明：如果
在矩形域
上连续，满足利普希茨（Lipschitz）条件，则方程
存在唯一解
，定义于区间
上，且连续且满足初始条件
这里
。
从上面的例子看，利用Gronwall不等式证明了微分方程解的存在唯一性定理，除了这个证明，它的应用范围比较广泛，还可以证明一些不等式和初值问题的解等性质。因此，熟练掌握该不等式为解决其他问题提供了一种新的途径和方法。
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