《勾股定理》是九年制义务教育初中阶段数学教材上的章节之一，不管是哪个版本，也不管教材几经修改，这部分内容始终被保留了下来，足见其重要性、实用性。
勾股定理是几何学中一条古老的著名定理，其形式优美、简单，揭示了直角三角形三边的关系，同时也反应了自然界的和谐关系，是把“数”与“形”联系起来的重要定理。勾股定理不仅在数学和其他学科中有着广泛的应用，而且它的起源和证明还蕴含了丰富的数学思想和文化价值。在初中阶段，勾股定理及其逆定理的证明与应用是图形与几何部分的重要内容之一。
在公元前11世纪的中国，数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这种说法。《周髀算经》中有商高与周公的一段对话，商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五”。后来大家就简单地把这个事实说成是“勾三股四弦五”，而根据这个典故大家习惯性地把勾股定理称作商高定理。魏晋时期的刘徽，清朝末年的华蘅方等古代数学家都对勾股定理有所研究，为勾股定理的发展注入了很强大的一笔，尤其是三国时期的数学家赵爽明确把直角三角形中短直角边称为勾，长直角边称为股，而斜边称为弦。“弦图”就是赵爽在解释《周髀算经》时出现的，它标志着中国古代的数学成就。2002年国际数学家大会在北京召开，当时数学家大会的会标就是根据“弦图”演变而来的。这不仅说明了我国古人的聪明智慧，中国古代科技的辉煌，更说明了中国数学在国际上的重要地位，为世界数学史做出了重要的贡献，得到了全世界的尊重和认可。在外国，公元前3000年，古代巴比伦人就已经道和应用过勾股定理。古代埃及人在测量尼罗河沿岸的土地和建筑金字塔时，也曾使用勾股定理。尤其是在公元前6世纪的希腊，勾股定理被数学家毕达哥拉斯所证明，所以这个定理在西方被称为毕达哥拉斯定理。
初中教材上是这样描述勾股定理的：在一个直角三角形中，如果两条直角边的平方和刚好等于斜边的平方，那么我们就把这个事实称为勾股定理。我们如果用a和b表示两条直角边，用c表示斜边，那么a2+b2=c2。勾股定理既然揭示了直角三角形三边的关系，那么，勾股定理就有着广泛的应用。首先，勾股定理必须是在直角三角形中才能使用，所以必须把要解决的问题放在直角三角形中，如果没有直角三角形，那么通常要作垂线，构造Rt?，然后运用勾股定理来作答。我们可以这样做，在直角三角形中，如果已知任意两边，可以直接利用勾股定理a2+b2=c2求出第三条边。但是，已知两边的长时，一定要弄清楚哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定已知的两条边分别是什么边时要分类讨论，不能乱用勾股定理。在一个直角三角形中，如果已知一条边，那么可以设未知的两条边中其中一条边为x,然后用含x的代数式去表示出另一条未知的边，最后利用勾股定理a2+b2=c2建立一个一元方程，解此方程可求出未知的两条边。
这只是简单地概括了勾股定理的应用方向，在实际问题中还要具体情况具体分析，灵活应用这个美丽的、实用性很强的定理。
初中数学教材中列举了勾股定理在很多方面的应用，包括其在平面图形中的应用，利用勾股定理直接或间接求出未知元素。如今生产生活中用得更多，比如蚂蚁在圆柱体、长方体表面爬行；拉一根钢缆加固电线杆；两个村庄修路；消防员利用云梯灭火；轮船在海上航行等问题；还有电视机的大小通常是量出屏幕的长和宽，通过计算对角线的长度来衡量的，我们说的47英寸、52英寸指的就是这个指标（1英寸≈2.54厘米）；以及阅读材料里面的“美丽的勾股树”等等，无不用到勾股定理。只要你敢于应用，敢于发现，勾股定理可以说是无处不在。这也正好向同学们说明了生活中处处留心皆数学的大数学观，同时也说明了课堂上的学是为了生活中的用学而不用学何用的道理。古代非常出名的源自《九章算术》里的折竹抵地：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？用现在的话来解释是这样的：有一根竹子，原来高度是一丈，一阵大风将竹子吹断，它的末梢刚好触地，触地的地方距离原竹子的根处有3尺远。问立在原地还有多高的竹子？这应该就是我国古代利用勾股定理解决实际问题的典型例子。在国外，除了古埃及人测量尼罗河泛滥后的土地外，还有11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题，都淋漓尽致地发挥了勾股定理的作用。
说完勾股定理，就要说一说勾股定理的逆定理。逆定理在教材上这样说到:如果一个三角形的三条边的长度用a、b、c来表示，且符合关系式a2+b2=c2，那么说明这个三角形就是直角三角形，其边c所对的角为直角。勾股定理的逆定理是对勾股定理的补充、完善，它们互逆，用法不同。逆定理的作用就是判断一个三角形是否为直角三角形，判断时先确定最大边，再看两条较小边的平方和是不是等于最大的边的平方，如果是相等的，那么这个三角形就一定是直角三角形；若不相等，则此三角形不是直角三角形。如果事先不知道哪条边是最大边，应考虑任意两边的平方和是否等于第三边的平方，切不可只作一次判断就断定该三角形不是直角三角形。前面提到的3，4，5三个整数就满足32+42=52，说明以3，4，5为边长的三角形是直角三角形。其实，还有像6,8,10和5,12,13等这样的三个整数为边长的三角形是直角三角形。这样的三个整数是一组非常漂亮的大家谓之的勾股数。那么，在这里什么又叫勾股数呢？也就是能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数，勾股数有很多组，只要满足一定规律比如n2-1、2n、n2+1（n为大于1的正整数）等都是勾股数。
勾股定理的重要性毋庸置疑，它的出现和证明是美丽的，而它的应用更是给我们的生产生活带来了无比的方便，逆定理的加盟又为该定理锦上添花。可以说我们对勾股定理的研究、认识、和应用还远远不够，今后我们围绕勾股定理还需要做更多的工作。
勾股定理来源于生活，服务于生活，随着社会的发展，它必定会发挥更大的作用。