摘要：在教学图形与几何这部分内容时，教师要做到尊重学生的思维特点，把每节课的教学内容置于整体知识的体系中，注意知识的结构与体系，根据真实的学情，恰当地改变教学思路，把枯燥问题趣味化，把抽象问题直观化，把静止问题动态化，才能进一步培养学生的空间观念。
关键词：转化 联系
案例背景：
《三角形的面积》是人教版五年级上册第六单元第二节课的内容，属于图形与几何领域的知识。是在学生已经了解了三角形的特征，并初步掌握了运用转化思想和割补法推导平行四边形面积的基础上进行教学的。纵观现行教材，主要采用“全等拼接，折半求积”两种方法来推导，人教版教材中呈现了的是“拼组”的推导方法。
以往在教学《三角形的面积》时，通常按教材的编写意图来展开教学，引导学生自己动手把两个完全一样的三角形，通过平移、旋转拼出平行四边形或长方形后，让学生观察两个图形之间的关系，从而推导出三角形的面积计算公式，接着运用公式解决生活中问题。教学过程很流畅，但总感觉这样的课堂，对数学本质的内涵关注不够，对学生学习数学的整体性缺乏深入的思考与挖掘。为了让课堂教学更能发展学生的思维，笔者设计了以下两个问题对学生进行了前测：
1.你会计算三角形的面积吗？
2.你准备如何推导三角形的面积计算公式？
统计结果表明，约60%的学生都知道“三角形的面积=底×高÷2 ”，约45%的学生都能清楚地描述可以用两个完全一样的三角形来拼出一个平行四边形，然后来推导三角形的面积计算公式。认真分析学生的前测结果，如果老师再去领着学生按教材的编排思路走一遍，感觉在“炒冷饭”，难以调动学生的学习兴趣。那该如果进行教学呢？必须重新调整教学方向，改变原有的教学思路，对教学目标重新定位。笔者认为，教学中，要把每节课的教学内容置于整体知识的体系中，注意知识的结构与体系，关注知识的“生长点”与“延伸点”，不能将学生的思维局限于“拼组”法，而应放手让学生通过质疑、讨论、思考，经历用不同的方法探究三角形的面积计算公式。本节课的教学不仅是公式的发现、掌握和运用，更重要的是数学思想方法的渗透和数学思维能力的培养，发展学生的思维空间，帮助学生多角度思考和解决问题的习惯和意识。
案例描述：
【片段一】
师：老山羊把一块长方形的菜地，分成了两个三角形（如图所示），一块分给山羊哥哥，一块分给山羊弟弟。分完地后，山羊哥哥和山羊弟弟争吵不休，都责备老山羊分得不公平，认为两块三角形菜地的面积不一样大。同学们，你们能用数学知识帮助老山羊说服他们吗？
（通过创设情境，激发学生解决问题的欲望，提高了学生学习的兴趣。）
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生：通过数格子，我们发现两个三角形所占的格子相等，所以山羊哥哥和山羊弟弟的菜地面积一样大。
课件演示分割的过程。
师：仔细观察，分割后的三角形和原长方形有什么关系？
生：直角三角形的面积是长方形面积的一半
结合图，学生能较快推导出“直角三角形的面积=底×高÷2” 。
师：是不是所有的三角形都用“底×高÷2 ”来计算面积呢？
学生讨论后，一致认为直角三角形是特殊的三角形，不代表所有的三角形，需要进一步探究来验证。
【评析】通过把长方形分成两个直角三角形，学生在操作、观察、对比中，实现把未知图形与已知图形之间进行巧妙连接，初步感知要用转化的思想来进行推导。
【片段二】
师：同学们，你准备如何探究锐角三角形和钝角三角形的面积计算公式呢？把你的想法和同桌交流一下。（教师事先准备了以下练习纸）
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（每个方格是1平方厘米）
学生同桌合作、自主探究，教师巡视、指导。
学生受到推导平行四边形面积的活动经验的负迁移，尝试沿三角形的高剪开，然后移到另一侧，在反复尝试后，发现没有拼成功，学生疑惑不解，纷纷陷入沉思。
教师引导学生仔细观察，尝试在方格纸中用“割补”的方法或“拼组”的方法，看看是否能转化成已知图形。
（学生在低头思考，大部分学生结合刚才把长方形分成两个直角三角形的活动过程，试图在重“塑”一个长方形或平行四边形。）
汇报倍拼法：在原三角形的“对面”画一个和它“完全相同”的三角形，得到了一个平行四边形。
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学生仔细观察，发现拼补后的平行四边形面积与原三角形面积之间具有2倍的关系，从而推导出三角形的面积=底×高÷2。
割补法：
师：同学们，我们推导平行四边形的面积时用的“割补法”，能不能用来推导三角形的面积呢？
（课件演示割补过程）
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师：在这个转化的过程中，什么变了？什么没变？
生：形状变了，面积没有变。
师：随便找两个点“分割”后就能“补”成平行四边形或长方形吗？
教师现场演示，随意找两个点进行割补，通过观察，发现不可以转化成已知图形。
教师接着追问：“分割”的点有什么讲究吗？
生：他们“分割”的点都是两条边的中心点，这样补过去才能补成长方形或平行四边形。
此时，教师再次演示，并强调找中心点的方法。
学生通过课件动态演示，体会到“三角形面积等于割补之后的长方形或平行四边形面积”，从而推导出三角形面积的计算方法。
【评析】本环节的教学没有依照教材编排的思路走，而是让学生从探究一个独立的三角形开始，把学习的重心聚焦到“如何思考”上，让学生经历感悟“倍拼法”“割补法”，通过三种三角形三次的研究，学生不仅深刻理解了三角形的面积计算方法，而且三次经历感悟到“转化”的思想，让数学思想方法的渗透真正“落地生根”，由此实现了“思维的多样性”向“本质的统一性”迈进。
【片段三】
学生自学、交流教材中的推导方法。
师：同学们，教材中呈现的推导方法与自己发现的推导方法有什么不同？
生1：课本中用完全一样的三角形来拼出平行四边形进行推导，而我们用一个三角形也可以进行推导。
生2：课本中只讲了“拼组”的方法，而我们还学会了“分割”的方法。
生3：教材中的“拼组法”和我们的“倍拼法”有点类似。
演示课件：教师利用电脑演示用两个完全一样的三角形“拼摆”的过程（突出旋转、平移）。
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【评析】通过前测发现，大部分学生已经能根据教材中呈现的“拼组法”，用两个完全一样的三角形拼摆出平行四边形来进行推导，通过“倍拼法”的渗透，学生能快速理解“拼组法”。通过设计对比、分析的环节，让学生积累更多的活动经验，充分认识到，无论是“割”的方法，还是“拼”的方法，都是用“联系与转化”的思想来解决新问题，进一步突出和强化了过程与方法的教学。
【片段四】
在最后的教学环节，教师设计了一个开放式的练习题。
在方格纸上，画出一个面积是4平方厘米的三角形，并说出你的想法。
师：你准备怎么画?
生1：我准备画一个底是4厘米，高是1厘米的三角形。
生2：如果这样画，面积等于4×1÷2 =2（平方厘米）
师：哪该如何调整？
生：可以画一个底是8厘米，高是1厘米的三角形。
师：还有其他画法吗？
学生积极思考，汇报出多种方法。
【评析】学生的画法不一，让学生认识到数学也有很多可能，学生在各种画法中多维度地巩固了三角形的面积计算，又为孩子未来的学习埋下了一颗种子。
案例思考：
1.改变思路，丰富数学理解。
有一位专家曾说过：“人类对数学的学习是有线索的，但是描述数学过程的线索不是唯一的。”笔者认为，作为教师，要站着学生可持续发展的角度来整体布局、立体构架、深入思考，有意识地去挖掘更深一层次的数学本质或内涵，恰当改变教学思路，让学生探索不同的推导方式，丰富数学的理解，是教学获得更大的效益，为后续的学习积累经验并形成丰富的生态资源。
2.感悟方法，建构学习策略。
数学是思维的体操，《三角形的面积》教学中，数学思维的“点”在哪里？笔者看来，本节课要通过“转化”“联系”“对比”“推理”来引导学生放飞思维、历练思维。通过动手操作，把未知的三角形转化为已知图形，实现“形”的转化；通过“寻找转化前后两个图形之间的逻辑关联，推导出三角形的面积计算公式。”实现知识的升华；通过对比“倍拼法”“割补法”“拼组法”，让学生深刻理解知识的形成过程，培养学生思维的灵活性和多样性。
3.深化认知，培养空间观念。
《新课标》指出：图形的教学要让学生在动态中理解。在教学图形与几何这部分内容时，教师要尽量给学生提供丰富多彩的感性材料，充分调动学生学习的积极性，引导学生通过操作、建模等活动，让视觉、触觉、听觉等多种感官参与活动，多样化地作用于学生的多种感观，才能进一步培养学生的空间观念。
笔者希望通过一种新的教学方式，让学生看到不一样的天空，在孩子的心中播下不一样的种子。
【参考文献】
[1]《小学数学课程标准》 [S]. 北京师范大学出版集团；2011年版
[2]《小学数学教学设计》 [J]. 山西教育出版社；2019第5期
[3]顾志能. 创新照亮课堂 [M]. 中国人民大学出版社:顾志能,2017.