摘要：中国数学传统与西方数学不同，它具有构造性、机械化的特征。清初传入我国的《借根方算法》介绍了西方的高次幂开方算法和高次幂方程解法，梅瑴成基于中算传统对这两种算法进行了改编，构造出的新算法不仅具备了中算传统中的机械化特征，还可以处理更高次幂以及更大的数值。此过程展现了中西文化的交流过程中，清算家构造新算法的能力以及对中算传统特征的保留和追求。
关键词：中西文化交流 开方算法 中国数学传统 机械化特征
一、引言
中、西方数学各自都有悠久的历史，以希腊的几何学为代表的古代西方数学，其特点是在构造公理体系的基础上证明各式各样的几何命题[ 纪志刚. 吴文俊与数学机械化[J]. 上海交通大学学报（社科版）, 2001,9（23）: 13.]，相反，中国古代数学更重视理论密切联系社会实际，以计算为中心，这是两者的根本区别[ 郭书春. 中国传统数学与数学机械化[J]. 曲阜师范大学学报, 2006,32（3）:3.]。20世纪70年代，吴文俊先生对二者的不同作了进一步的探讨和分析，他指出，以《九章算术》为代表的中国古代传统数学，与以欧几里得《几何原本》为代表的西方数学，代表着两种不同的体系，其思想与方法各呈特色[ 吴文俊. 中国数学简史·序[M]// 中外数学简史编写组. 中国数学简史. 济南: 山东教育出版社, 1986.]。我国传统数学在从问题出发以解决问题为宗旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，有着一套不同于西方的算法传统，这与西方数学的公理化演绎体系正好遥遥相对[ 吴文俊. 东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究·序言[M]// 李继闵. 东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究. 西安:陕西人民出版社, 1990]。中算注重应用与计算，其成果往往以算法的形式表达。西算注重概念与推理，其成果一般以定理的形式表达[ 吴文俊. 中国数学简史·序[M]// 中外数学简史编写组. 中国数学简史. 济南: 山东教育出版社, 1986.]。
在中国古代许多重大数学成就中，如《九章算术》中的分数四则运算、盈不足算法、开平方法与开立方法、线性方程组解法；魏刘徽的割圆术、方程新术；南宋的贾宪三角以及“增乘开方法”；北宋秦九韶的“大衍求一术”；金元李冶的“天元术”；元朱世杰的“四元术”，等等，其本质都是一套充分机械化的计算程序[ 刘钝. 中国古代数学的主要特征及其历史与现实意义[J]. 自然辩证法通讯, 1993（5）: 49.]。此外，我国传统数学的另一个重要特点即是善于利用几何图形来说明数学问题，《九章算术》中包含着极为丰富的几何内容，例如用几何图式解释平方、立方的开方运算；刘徽“出入相补”、截面原理的提出；“割圆术”与“牟合方盖”的发明，都是具有世界意义的数学贡献，[ 李继闵 《九章算术》及其刘徽注研究. 西安:陕西人民出版社, 1990，p.236.]也体现了中算家对几何图形的运用自如。
康熙年间，我国首次传入了一部介绍西方代数学的著作——《借根方算法》，《数理精蕴》下编卷31-36（《借根方比例》）即是根据它改编而来的[ 韩琦. 康熙时代传人的西方数学及其对中国数学的影响[D]. 北京:中国科学院自然科学史研究所, 1991, 32.]。两本书均介绍了高次幂的数值解法（高次幂开方算法xn=a、高次幂方程解法axn±bxm=c），虽然《借根方算法》介绍了西方算法，但《借根方比例》却没有完全抄写其内容，相反，中算家对西方的计算方法做了许多改进工作，构造了一套全新的计算方法。
现有对两本著作的研究工作主要涉及对两本书中内容的介绍，讨论《借根方比例》中高次幂数值解法来源，关于两本书中高次幂数值解法的不同却并未引起前人的关注。
通过对比两本书中计算方法的不同并分析二者的特征，可以发现，中算家新构造的高次幂数值解法不仅体现了中算传统中的构造性、机械化特征，它们还可以处更高次幂的幂以及更大的数值。体现了不同文化交流下，中算家为会通中西方算法所做出的努力和贡献，以及在吸收、理解西方算法的同时对中算传统的保留和发展。
二、西方代数学中的嵌入式思考方式
《借根方算法》成书于1700年，作者是比利时传教士安多（Antoine Thomas 1644-1709）[ Han Qi. Antoine Thomas, SJ, and his Mathematical Activities in China: A Preliminary Research through Chinese Sources[C]// W. F. Vande Walle(ed) The History of the Relations between the Low Countries and China in the Qing Era(1644-1911). Leuven: Leuven University Press, 2003, 105-114．]。他于1685年应召入京，作为南怀仁的助手协助钦天监工作，还与徐日升（Thomas Pereira）、白晋（Joachim Bouvet）、张诚（Gerbillon Jean Franois）等人一起作为康熙的御前教师向康熙介绍科学知识，其中就包括了《借根方算法》中的代数学知识。全书共分为上、中、下三卷，上、下两卷分别介绍了高次幂的开方法（xn=a）和高次幂的方程解法（axn±bxm=c）。
1、未知数的嵌入式命名方式
安多在开篇就给出了各未知数的名称：
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2、以嵌入式为主的开方算法
安多在上卷的13-18小节讨论了高次幂的开方算法，正如对未知数名称的解释那样，其中4、6、8、9次幂的开方算法都使用了嵌入式计算，如“二平方（x4）之根，以此真数开平方得根数，又以之开平方，即得二平方之根数也”，即x4为√(√x4)；平方之立方（x6）则“必先依平常开立方法算之得根数，再以之开平方得根数，即平方之立方根数也”，即x6为√(3√x6)。
至于x5=a、x7=a这两种无法使用开平方、开立方进行嵌入式计算的方程，安多则是给出了特殊的计算方法“查表法”[ 此名称并非来自于《借根方算法》，为了区别于《借根方比例》中类似的算法，故在此取名为“查表法”。]，此法只要对照“数表”中的数值即可获得初商、次商、三商的值。以x5=13383270465632为例
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图1 《借根方算法》5次幂部分“数表”图[ 故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000, 19.]
“查表法”需要进行两次查表操作，第一次要找到“数表”（图1）中与被开方数13383270465632前部分相近的“相近小数”，即130691232，此数值所在列的顶端数值为被开方数的第一位数值（4），所在行的左端数值为被开放数的第二位数值（2）。第二次找到“相近小数”的次行之数，此处即15558480，用它即可求得被开放数的第三位数值。
下卷共讨论了三类高次幂方程的解法：ax3±bx2=c；x4=ax2+b；x6+ax3=b、x6=ax3+b。其中4、6次幂方程的解法也都使用了嵌入式的计算方法，如：x4=ax2+b，即是将x4=ax2+b则视为X2=aX+b（X=x2），先开平方再开平方；而x6=ax3+b则是将x6=ax3+b视为X2=aX+b（X=x3），先开平方再开立方。至于无法使用嵌入式计算方法的高次幂方程ax3±bx2=c（中算称之为带纵立方），安多同样给出了单独的计算方法，[ 故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000, 187.]它与中算传统并不相同，安多也没有对其运算过程作任何解释。
可见，不论是未知数的命名方式，还是高次幂开方算法（4-9次幂）、高次幂方程解法（3-6次幂），安多都是以嵌入式的思维方式来看待它们的，这与他的西方数学知识背景不无关系。不论是高次幂开方法还是高次幂方程解法，安多都更倾向于使用开平方、立方的嵌入式计算方法，只有针对无法使用嵌入式计算的5、7次幂开方算法和3次幂的方程解法，安多才会给出特殊的计算方法。
3、“公理”中的次要知识
在《借根方算法》中，最重要的内容为上卷的1-18 小节，安多在文中将这些内容定义为全书的“公理”[ 在《借根方算法》之前，在中国古代算学著作中并未出现过将某些内容定义为“公理”的行为。首次出现相同含义定义的数学著作是明代利玛窦（Metteo Ricci, 1552-1610）、徐光启（1562-1633）所译的《几何原本》。书中给出了19条“公论”，而“公理”、“公论”这两术语在中国古代汉语中的含义都表示“公认的正确道理”。因在当代的《几何原本》著作中，“公理”、“公论”两术语有混用的情况发生，故本文中“公理”专指《借根方算法》之内容，“公论”专指《几何原本》之内容，二者所指代的内容并不相同。]，并称它们为“算法之条例”。[ 故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000: 25.]而之后的内容都是为了阐明各类“公理”而服务的。
在第7小节中，安多详细地介绍了“借根方算法”的运算流程，整个流程与当代初等代数的解题步骤基本无异，都可分为“借根—列式—化简—开方”四个步骤。反观“公理”（1-18小节）内容的编撰流程可以发现，安多的编撰思路也是如此，这些内容可以分类如下：
表1 《借根方算法》“公理”内容分类
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在所有的“公理”内容中，上述高次幂数值解法（高次幂的开方算法、高次幂的方程解法）应该属于较为不重要的知识内容。首先，它们二者都属于“借根方算法”的最后一个环节[ 二者在“借根方算法”中的功能和作用是相同的，都属于整个运算流程最后的开方步骤。]。在处理简单问题时，经过化简步骤之后一般就可以直接得到未知数的值，无需此环节，只有在处理复杂问题时，即化简之后最简等式为xn=a或axn±bxm=c，才会涉及到这些计算方法。其次，在《借根方算法》的删减本《借根方算法节要》中，后者仅删除了“公理”内容中的高次幂开方算法，对高次幂方程解法的介绍也止于二次幂方程，没有涉及三次幂及以上的方程解法。再次，《阿尔热巴拉新法》[ 在《借根方算法》之后的一部介绍西方符号代数的算数书，作者是傅圣泽，但此书并未受到康熙的赏识，故而并未被清代学者所熟知。]用了大量的笔墨介绍加减乘除算法以及等式的重要性，唯独没有介绍开方算法。可见这些计算方法应该只是“公理”内容的次要知识以及“借根方算法”流程的一个环节，绝非全书最为重要的内容。
三、清算家对中算传统的保留与追求
1712年-1713年间，康熙帝命在畅春园蒙养斋开馆编修《御制数理精蕴》，由皇三子胤祉（1677-1732）主持工作，许多著名的学者，如梅瑴成（1681-1764）、何宗国（？-1767）等人都被吸收进馆，此书卷31-36《借根方比例》就改编自《借根方算法》。
《借根方比例》的编撰过程并不同于之前的《几何原本》、《同文算指》。首先，此书编撰期间安多已经过世。其次，编撰《阿尔热巴拉新法》的傅圣泽（Jean-Francois Foucquet，1665-1741）并没有获得皇帝的赏识，所以梅瑴成等人在编撰过程获得了传教士怎样的帮助未可知。
《借根方比例》共有6卷（卷31-36），卷32给出了高次幂的开方算法（xn=a），卷33则给出了高次幂方程的解法（axn±bxm=c）。同时，梅瑴成在书中还称“借根方比例法中，开各乘方为最要”[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，965.]，可见他对开方算法的重视程度。
1、中算传统下图解式的理解方式
在对未知数的命名上，梅瑴成没有使用《借根方算法》中带有嵌入式特征的名称，而是称二平方（x4）为“三乘方”，上立方（x5）为“四乘方”，立方之平方（x6）为“五乘方”……以此类推，这种命名方式与梅文鼎在《少广拾遗》中的命名方式相同，可见梅瑴成更愿意使用他所熟悉的方式去理解这些西方知识，同时，这种思维方式也从另一方面体现了中算传统的另一个特点，即是“用图解的方式说明数学问题”[ 韩琦．康熙时代传入的西方数学及其对中国数学的影响[D]．北京：中国科学院博士学位论文．1991：41.]。
虽然《数理精蕴》从整体上说是一部西方数学著作的编译作品[ 韩琦. 《数理精蕴》提要//郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷. 第3分册. 郑州：河南教育出版社，1998. 2.]，但仍带有我国传统数学“析理以辞，解体用图”（借用《九章算术》刘徽注的词语）的重要特点，书中增添了许多图示，并用图解的方式说明数学问题[ 韩琦. 《数理精蕴》提要//郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷. 第3分册. 郑州：河南教育出版社，1998. 8.]，梅瑴成对《借根方算法》的改编行为也很好地体现了这一特点，比如在他看来，上述不同次幂之间的区别并非是数值关系，而是“诸乘方之形体不同”，越高次幂的开方运算因“其廉俞多则其法俞难”[ “廉”是中算传统中的专业术语，以开立方为例，通常会对一个立方体进行切分，将其分解为一个小立方体，称为“隅”；三块正方柱体，称为“方”；三条正方柱体，称为“廉”。计算出它们的边长，才能求出开立方的值。]，实际上这种理解方式正是源自于《九章算术》。
同时，梅瑴成还借助这种方式来解释《借根方算法》中的其他代数学知识，比如多项式乘法（2x2+3x）·（2x+4），梅瑴成除了给出与《借根方算法》相同的运算方法（如图2），还会附以几何图形对其进行阐释（如图3）。
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图2 多项式乘法法则[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，952.] 图3 多项式乘法法则图解[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，953.]
在梅瑴成看来，此多项式相乘的结果（即4x3+14x2+12x）就是中算传统中代表带纵立方的几何图形（图3）。他甚至将《借根方算法》中出现过的9种一元三次方程归类为各种几何体，如“磬折体”、“长方体”或“扁方体”。
2、基于中算传统的新开方算法
在卷32中，梅瑴成共给出了两种高次幂开方法（xn=a），第一个是将《借根方算法》中的“查表法”稍作改编，被称之为“表开法”。“表开法”的运算流程与前者基本相同，不同之处在于此方法不只限于处理 5、7次幂的开方算法，而是可以适用于4-10次幂，整个运算流程带有了中算传统中的机械化特征，只不过不同次幂对应的“新数表”略有不同。[ 由于《借根方比例》没有采用《借根方算法》“查表法”中的“移写”步骤，所以对同一数值进行开方运算时，《借根方比例》所用的“余积”要比《借根方算法》少一位，为了保证“余积”与“次行数字”相除所得之数数值不变，故《借根方比例》“新数表”的“次行数字”比《借根方算法》“数表”中的“次行数字”要少一位数。]
另一个算法（以下简称“改编法”）来源未知，它既不同于《借根方算法》中的“查表法”，又不完全同于任何中算中的开方法，它应该是梅瑴成等人基于中算传统独自构造出来的。其运算流程如下：
表2 《借根方比例》三次幂“改编法”步算分解
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借助“流程图”我们可以清楚的看出，“改编法”自第七步运算起，便开始重复第三步的计算方法，第八步运算则是重复第四步的计算方法，以此类推，直至得到最终结果，整个算法流程体现了中算传统中的机械化的特征。
虽然梅瑴成在《借根方比例》中并没有使用“改编法”处理数值为四位数的开方运算，但依照中算传统的机械化特征，此算法应该是可以处理更多位数值的开方运算的。今以x3=41135081408为例，按照上述步算过程，确实可以求得未知数的数值为3452。可见此算法并不像“查表法”、“表开法”那样仅可以处理数值是百位的开方运算，而是可以处理更大数值的开方运算。
同时，此“改编法”不仅适用于3次幂，它还适用于4-10次幂，而计算过程中最为关键的数值就是“廉法”（即表 2中步骤5、9），不同次幂的开方算法流程完全相同，只要更改不同次幂所对应的“廉法”数值即可，“廉法”的计算方法见表1：
表3 《借根方比例》“改编法”不同次幂次商、三商廉法求法
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由表3可见，此处“廉法”的求解方法同样也具备中算传统的机械化特征。如果幂数每增加一级，那么初商（初商+次商）自乘的次数也多加一次，与此乘积相乘的数值也同时加1即可。实际上，梅瑴成完全可以将带有机械化特征的“廉法”算法拓展至任意次幂，如此便可以处理任意次幂的开方运算，只不过他止于了10次幂而已，正如他在书中所说，“至于十乘方以后，并可以此法御之，但其数繁衍而无所用，兹故不载焉”[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，965.]。
显然，“改编法”这种具备程序化、机械化特征的求解方法不可能源自《借根方算法》，它必然与中算传统有着密切的关系。如果对比梅文鼎《少广拾遗》中的开方算法，便可找到梅瑴成的思想渊源。实际上，“改编法”中“廉法”的求法与《少广拾遗》中“第一廉汎积”[ 梅文鼎根据“廉率立成图”，称不同次幂有不同数量的“廉”，如四乘法有四个“廉”，五乘方有五个“廉”。“第一廉汎积”即是不同乘方的第一个“廉”的汎积值。详见：梅文鼎. 少广拾遗[M]//梅氏历算全书[M]. 卷59. 四库全书本.28.]的求法是相同的，比如5次幂“第一廉汎积”的求法同样是初商4×5，6次幂是初商5×6。同时，由于《少广拾遗》中的开方算法是以“廉率立成图”作为基础，所以梅文鼎实际上也完全有可以其开方算法推广至更高次幂，只不过他同样止于13次幂而已。故而，基于梅瑴成及其他编撰者与梅文鼎的关系，有理由相信他们在构造“改编法”时应该是参考了梅文鼎的《少广拾遗》。
3、中西会通下的高次幂方程解法
《借根方比例》卷33中讨论了3-6次幂的方程解法，诸多学者对其中三次幂方程的来源展开了许多单独的讨论，[ 钱宝琮. 中国数学史[M]. 北京：科学出版社，1992. 275.
李迪. 中国数学通史·明清卷[M]．南京：江苏教育出版社．2004：231-235.
李兆华. 关于《数理精蕴》的若干问题［J］． 内蒙古师大学报（自然科学），1983，2：73.
韩琦. 康熙时代传人的西方数学及其对中国数学的影响[D]. 北京:中国科学院自然科学史研究所. 1991. 32-33.]但是，卷 33 中的 3-6 次幂方程解法是具备中算传统的机械化特征的，故而应该将 3-6 次幂方程解法放在一起进行探讨。实际上，此处的高次幂方程解法应该是梅瑴成等人对中西双方高次幂方程解法会通之后的成果。
中算传统对带纵立方的图解方式是将长方体拆分成一个小长方体，以及包裹在小长方体外的“方、廉、隅”（如图4），再对这些几何图形进行计算。如《数理精蕴》卷24实际上就已经给出了三次幂方程的求解方法，此方法即属于所谓的“常法”。
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图4 《数理精蕴》卷24 开带纵立方图示[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，781.] 图5 《借根方比例》带纵立方图示
梅瑴成因为沿用了《借根方算法》的三次幂方程解法，故而无法使用常规的图解方式，并称其“与常法不同”[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，997.]。但是他结合中算传统总结出了一套新的图解方式，将长方体拆分成了两个几何体。以x3+4x2为例，即是将其视为“正方体之外多四平方，故成长方体”[ 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，1000.]（如图5），然后对两个立方体进行计算即可。
如此一来，经梅瑴成融合过后的三次幂方程解法既可以与《借根方算法》中的西方算法保持一致，又可以用中算传统中的图解方式为其合理性作出解释，使得《借根方比例》中的三次幂方程解法可以直观地通过中算传统的知识体系加以理解和吸收。
同时，也正是因为梅瑴成巧妙的利用中算传统会通了西方的三次幂方程解法，他才能基于这种新的图解方式将《借根方算法》中的三次幂方程解法拓展至4-6次幂。如上文所述，《借根方算法》只给出了三次幂方程的解法，其余的高次幂方程解法则均使用的嵌入式解法，而《借根方比例》中3-6次幂方程解法的步算流程都是相同的，它们同样带有中算传统的程序化、机械化特征。整个高次幂方程的解法流程图如图所示：
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图6 《借根方比例》高次幂方程解法流程图
与《借根方比例》卷 32 中的高次幂开方算法一样，卷33中的高次幂方程解法因为其程序化、机械化的特征，实际上也可以适用于任何次幂的方程解法，只不过梅瑴成止步于 6 次幂而已。
综上，梅瑴成基于中算传统及自身的算学知识，使用了新的图解方式，对《借根方算法》中不同于“常法”的三次幂方程解法给出了符合中算传统的“合理”解释，并基于对算法的理解，构造出了一套带有机械化特征且适用于任意次幂的方程解法，这是《借根方算法》和“常法”都无法做到的。相较于《借根方算法》，新算法体现了中算传统中的程序化、机械化特征，相较于中算传统而言，新算法在确保准确性的前提下省略大量的计算步骤，使得整个算法甚是简捷。
梅瑴成之所以如此关注《借根方算法》中的开方算法，一部分原因可能是出自康熙对此部分内容的关注。在评价傅圣泽的新代数学知识时，康熙并没有完全理解这些内容，他不仅称傅圣泽“算法平平”，作为对比，他还称赞了旧算法的开方算法，[ 韩琦．康熙时代传入的西方数学及其对中国数学的影响[D]．北京：中国科学院博士学位论文．1991：25.]可见康熙原本对《借根方算法》中的开方算法就有较高的关注度。另一部分原因可能是因为开方算法一直以来都是我国传统数学最为擅长的运算法则之一，从《九章算术》首次给出开平方法与开立方法，到《孙子算经》对开方算法“超位退位定位”的改进，这种改进又被《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、甄鸾《五曹算经》、杨辉《详解九章算法纂类》所沿用，再到南宋的贾宪给出了“增乘开方法”，以及刘益、秦九韶等人对“增乘开方法”的改进……其中“增乘开方法”的出现更是标志着我国古代数学机械化思想所达到的新阶段，不幸的是，这一成就在宋元时期之后一度中断。然而，正是由于梅瑴成对中算传统的保留、坚持和创新，才使得《借根方比例》在宋元时期的增乘开方法失传之后，首次给出了高次方程数值解法。[ 李兆华. 关于《数理精蕴》的若干问题[J]. 内蒙古师大学报（自然科学）, 1983,（2）: 73.]
四、结语
在《借根方算法》中，不论是未知数的命名方式，还是高次幂开方算法和高次幂方程解法，安多都是用带有西方特色的嵌入式的思考方式来考虑这些问题的。这些计算方法是纯粹的数值运算，安多没有对其作出任何解释，同时，它们也没有体现出中算传统中的机械化特征。出于中算传统自古对开方算法的重视，这部分内容引起了梅瑴成等人的注意，但他们并没有完全沿用西方的开方算法，而是基于自身的中算知识背景对其作了大量的改进工作。首先，经改编后的高次幂开方算法和高次幂方程解法均体现了中算传统中的程序化、机械化特征；其次，由于新算法的机械化特征，它们不仅可以处理更大的数值，还可以处理任意次幂的开方运算，这无疑是基于对中算传统的保留、坚持和创新才能作出的巨大贡献，对我国传统数学的发展以及中西文化的交流都具有积极的意义。
当然，梅瑴成对西算的改进行为和当时的社会文化背景可能也有一定的关系。《御制数理精蕴》编撰之时，正值“西学中源说”盛行，历算学家通常会以此学说为基础，将西学纳入中算传统中[ 赵晖. 西学东渐与清代前期数学[M]. 杭州：浙江大学出版社，2010, 17.]。梅文鼎就曾对西法的源流进行论述，以尽量将这些知识归入“中源”的行列[ 梅文鼎. 笔算[C]//梅文鼎. 梅氏历算全书. 卷33. 四库全书本.]。《御制数理精蕴》就是在这样的环境下编撰成书，主编梅瑴成，分校官魏廷珍、王兰生以及何国宗都和梅文鼎有着亲密的关系，书中的一些内容甚至直接采用了梅文鼎的成果[ 李兆华. 关于《数理精蕴》的若干问题[J]. 内蒙古师大学报（自然科学）, 1983,（2）: 79.]。因而，梅瑴成等人也很有可能在这种环境下，基于自身的中算传统来会通、融合中西双方的计算方法，并将西方的算法适当的“中算化”，最终，作为一种西方算法，它既保留了不同于中算传统的西方算法样貌，还展现出了“中算传统”的影子。
参考文献
1.上海交通大学 科学史与科学文化研究院
2纪志刚. 吴文俊与数学机械化[J]. 上海交通大学学报（社科版）, 2001,9（23）: 13.
3郭书春. 中国传统数学与数学机械化[J]. 曲阜师范大学学报, 2006,32（3）:3.
4吴文俊. 中国数学简史·序[M]// 中外数学简史编写组. 中国数学简史. 济南: 山东教育出版社, 1986.
5吴文俊. 东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究·序言[M]// 李继闵. 东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究. 西安:陕西人民出版社, 1990
6吴文俊. 中国数学简史·序[M]// 中外数学简史编写组. 中国数学简史. 济南: 山东教育出版社, 1986.
7刘钝. 中国古代数学的主要特征及其历史与现实意义[J]. 自然辩证法通讯, 1993（5）: 49.
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14 故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000, 3.
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16 Procissi, Angiolo (ed.), 1954. “I Ragionamenti d'Algebra di R. Canacci”. Bollettino Unione Matematica Italiana, serie III, 9, p.432.
17 Pacioli, Luca. Summa de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita. Venezia: Paganino de Paganini, 1523. (67v).
18 Rudolff, Christoff. Behend und lubsch Rechnung durch die kunstreichen Regeln Algebra, so gemeincklich die Coss genennt werden. Straßburg, 1525.(24v)
19 此名称并非来自于《借根方算法》，为了区别于《借根方比例》中类似的算法，故在此取名为“查表法”。
20故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000, 19.
21故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000, 187.
22在《借根方算法》之前，在中国古代算学著作中并未出现过将某些内容定义为“公理”的行为。首次出现相同含义定义的数学著作是明代利玛窦（Metteo Ricci, 1552-1610）、徐光启（1562-1633）所译的《几何原本》。书中给出了19条“公论”，而“公理”、“公论”这两术语在中国古代汉语中的含义都表示“公认的正确道理”。因在当代的《几何原本》著作中，“公理”、“公论”两术语有混用的情况发生，故本文中“公理”专指《借根方算法》之内容，“公论”专指《几何原本》之内容，二者所指代的内容并不相同。
23.故宫博物院编. 借根方算法[M]. 海口: 海南出版社, 2000: 25.
24二者在“借根方算法”中的功能和作用是相同的，都属于整个运算流程最后的开方步骤。
25.在《借根方算法》之后的一部介绍西方符号代数的算数书，作者是傅圣泽，但此书并未受到康熙的赏识，故而并未被清代学者所熟知。
26.何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，965.
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28.韩琦. 《数理精蕴》提要//郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷. 第3分册. 郑州：河南教育出版社，1998. 2.
29.韩琦. 《数理精蕴》提要//郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷. 第3分册. 郑州：河南教育出版社，1998. 8.
30. “廉”是中算传统中的专业术语，以开立方为例，通常会对一个立方体进行切分，将其分解为一个小立方体，称为“隅”；三块正方柱体，称为“方”；三条正方柱体，称为“廉”。计算出它们的边长，才能求出开立方的值。
31. 何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，952.
32.何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，953.
33.由于《借根方比例》没有采用《借根方算法》“查表法”中的“移写”步骤，所以对同一数值进行开方运算时，《借根方比例》所用的“余积”要比《借根方算法》少一位，为了保证“余积”与“次行数字”相除所得之数数值不变，故《借根方比例》“新数表”的“次行数字”比《借根方算法》“数表”中的“次行数字”要少一位数。
37.何国宗,梅瑴成汇编. 御制数理精蕴[C]//郭书春主编: 中国科学技术典籍通汇·数学卷·第3分册. 郑州： 河南教育出版社, 1998，781.
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作者简介：
贾洪岩（1989-） 男 上海交通大学 科学史与科学文化研究院,在读博士生, 研究方向：数学史。