1．集美大学理学院，福建 厦门 361021  江锦志 1
2．集美大学理学院，福建 厦门361021   黄振坤 2
3．厦门市同安一中，福建 厦门 361100）  黄献磅 3

摘要:数学概念是数学知识体系的基本构成要素，数学概念特别是抽象概念，既是数学教师的教学难题,又是大部分学生的“痛点”.《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》中把“数学抽象”排在六大“数学学科核心素养”首位。数学概念，特别是抽象概念是培养学生“数学抽象”的重要手段。数学概念教学的效果，往往关系到学生后继相关联知识模块的学习和应用。本文试图从 PME 视角，探讨抽象概念的教学突破方法，并以高中对数概念的教学为例提出具体教学突破方案。
关键词：PME；抽象概念；教学；对数
        一、问题提出
        众所周知，数学知识体系中，最基本的组成要素是数学概念。一个概念，就是若干对象由某种特定关系结合组成的结构。［１］（30）数学概念教学的效果，往往关系到学生后继相关联知识模块的学习和应用，而数学概念的教学，离不开对学生抽象思维的培养,因而在《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》中把“数学抽象”排在六大“数学学科核心素养”首位， 并指出数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则［2］。可见，数学概念，特别是抽象概念的教学占据重要的地位，是培养数学“数学抽象”核心素养的重要途径。
       二、PME 简述
       PME 是英文专有名词，是数学教育心理学（Psychology of Mathematics Education）的英文简称。在我国，数学教育心理学理论研究也得到了很大的进展，例如，章建跃在《数学教育心理学》一书中，以认知心理学为基础，通过对中小学生数学学习过程的研究分析学生数学学习的心理，提出数学教育改革，并将数学教育改革的观点应用到实际教学设计中 [4]。李士錡在《PME：数学教育心理》一书中提出，哲学认知论、现代认知理论的发展，为这种转变（数学教育心理学研究从行为主义的观点和方法转变到认知建构的视点和方法）提供了基础，提倡解剖学生学习的内部过程、机制和产生这些过程的原因，分析错误的来源和性质。
[1]
       基于 PME 的数学教学，侧重于先了解学生认知基础，重构教材，设计符合学生认知规律的教学策略，关注学生学习心理上的变化，适当调整教学方式，使学生通过建构自己的认知模式，把新知识内化，进而纳入自己原有的认识系统。PME 研究认为数学抽象能力的发展需要一个过程：从具体事物的接触，到本质特征的初步概括，到符号表征，最后到更深层次的概括和推演、迁移，这是一个由表及里的过程，也是一个缓慢发展的过程[5]。
        三、基于PME 的抽象概念教学突破
        1．导入阶段：引发学生的认知冲突（或激发新概念提出的必要性）,并寻找与新概念关联的旧知、旧概念。在导入环节，通过引发学生的认知冲突或激发新概念提出的必要性，从而激发学生的学习兴趣和积极性，同时还要在这一阶段展示与新概念学习相关的旧知、旧概念。正如李士錡在《PME：数学教育心理》一书中所说：在学习一新概念之前，头脑里一定要具备与之有关的准备知识，它们是支撑新概念形成的依托。［１］（65）以对数概念教学为例，在对数概念引入时，可先让学生经历求指数而不能求的过程,从而引出“创造”新概念（新符号） 的必要性。这样的教学设计，可以将数学的“味道”在课堂上淋漓尽致地展现出来。数学语言即为符号语言，“符号意识”的培养也是学习数学的价值之一。［6］同时,教师还要在课前备好与对数相关的比如平方根、立方根等相关知识，与引出新符号形成一个类比，既培养了学生的类比思维，又让学生更容易对对数符号的“理解”，不会感觉很“冒失”，降低了学生的认知心理负担。
        2．导出概念阶段：不着急给出新概念的定义，而是先给出大量与新概念相关的实例。美国心理学家布鲁纳曾说过：“当基本概念以正规形式出现在儿童面前时，他们如果事先没有从直觉上加以理解，对这些概念则将无能为力”。中学生虽然具备了一定的抽象思维能力， 但是在面对一个新的抽象概念的时候，依旧会在心理上产生“恐惧”。概念的形成时主要参考的是经验现象和事实［１］（52），学生在形成概念过程中只有积累一定的活动经验和事实，才能更好内化概念，而不是被动的接受概念。在课堂活动中,学生的思维无法由教师替代，因此，在给出新概念正式定义前，要让学生经历足够多的与概念相关实例，经历观察、对照、类比、归纳等体验过程，抽象出概念的表象特性，从而让学生创造自己的理解。
        3．概念内化阶段：给出新概念严谨定义并举一定数量的正反例.前一阶段已经为数学正式的严谨定义作好准备了，些时数学教师可以从上一阶段抽象出的表象，再结合可类比的认知结构，就能在一定程度上降低学生对严谨定义的“不适应感”。认知结构与学生现有的知识数量及其清晰度、组织性等有密切关系，具体指学生眼下能够回想出的定义、命题、事实等构成[8]，要防止学生原有的、现有最近的认知结构，会对新概念学习带来干扰。因而，在学生有了一定程度的理解后，教师要及时纠正学生在理解上的不足，进一步揭示新概念的本质属性特点，理清新概念的内涵和外延，让学生理清与类比知识结构的区别和联系。要实现内化，还需要一定数量的反例，让学生经历正例与反例的“操作”应用。通过学生自己对实例的比较、分析、概括、分化和类比等思维活动，可以使概念的关键属性变得清晰，使实例成为理解概念的思维载体。［7］（117）
        4．概念巩固阶段：渗透概念的二重性并给出一定量的计算实践。学生往往对概念的理解单一,不利于概念的应用和拓展。而数学概念往往兼有这样的二重性［１］（110）（过程和对象两个侧面）。数学教师应在此阶段给学生灌输数学概念的“二重性”思想，明确新概念表示的过程（结构）特点和表示的对象（结果）特点。就对数概念来说，对数既有表征??和??的关系，又表示一个整体的计算结果，是一个具体的实数，要当作一个整体的对象，即表示??的这个实数（整体）的次幂等于??。这样一方面使学生避免了把??????与??和??分开，另一方面也能使学生在后继对数运算上出差错。此外，还要增加一定量的与抽象概念相关的计算题，因为计算的实践可能是达到理解数学概念的必要步骤［１］（116）。这样，学生通过计算实践及教师的及时提醒、点拨，在形式上对抽象概念进行相关操作的基础上，达到一定程度的“反思”，反思自己出现的误解、错解的根源，从而达到巩固、内化概念的教学目的。
       四、对数概念教学设计突破点
       1.导入阶段：
       师：这节课，我们先来看看四个方程，请同学们运用已经学过的知识，求出或表示出 x 的值。 
（1）3??=27 （2）3??=6 （3）??2=3 （4）??3=5
        预设情况：第（1），（3），（4）都可以轻易求出，第（2）小题无法表示设计意图：在抽象概念教学时，最好能直接导入，直截了当，减少学生的认知负荷，同时节约了时间，更是引发学生的认知冲突，提高学生学习新知识的兴趣和动力。（3）、（4）是为了引发学生类比思想，从而使新符号的产生具备必要性和可能性。
        师：大家在做第二小题的时候，明显感觉很无奈、很无助了吧？那我们先思考一下：这个x 存在吗？（问题 1）如果存在，我们能通过已经学过的数学知识求出来吗？如果不存在，是为什么？（问题 2）
        预设回答：有的回答不存在，有的回答存在，大部分不知道怎么求。
        师：（经引导）可以画出指数函数?? = 3??的图象，你能找出??在数轴上的位置吗？大概是多少？
（问题 3）
        设计意图：与学生原有的认知（指数函数）产生关系，培养学生的模型思想（即指数模型）。引导学生在遇见新疑问时，学会寻找新知与旧知之间的关联。
       师：我们回顾以前求（3）、（4）小题的时候，是不是需要“创造”一个符号？分别读作什么？
（问题 4）
        预设回答:±√3，3√5,正负根号 3，5 的立方根
        师：那我们是不是也同样需要“创造”一个新的符号？（问题 5）
        师：这个符号，就是十七世纪的三大数学发明之一（对数），法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾这么评价：对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍。
        师：这节课，我们就将一起来学习这个新符号、新概念
        设计意图：通过激疑，提高学生学习兴趣和探求新知积极性，同时，通过向学生说明对数是十七世纪的三大数学发明之一及拉普拉斯对对数的高度评价，让学生感觉到对数的重要性， 扩大对抽象概念的认识，这也在一定程度上激发学生想了解对数为什么有这么重要地位的欲望。
        2.导出概念阶段：
        师：这个新符号的发明者是苏格兰数学家纳皮尔，他在 1619 年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数。他创造了新的符号：“log”， “log”是拉丁文 logarithm（对数）的缩写，一般读作：[l?ɡ]，
       设计意图：让学生了解对数符号的具体由来，降低学生对新对数符号认知的畏惧、抵触心理。
       师：我们现在来求解一下：（1）3??=27  （2）3??=6 ，根据刚才（3），（4）的符号规则，（2）中的 x 用“log”表示，还跟什么数据有关联？（问题 6）
       预设回答:3 和 27
       师：回答得很正确！（1），（2）这样式子我们根据上一节学习的，称为？--指数式，那（2）中的 3，叫？--底数。所以我们不难会选择把 3 也写在 log 后面的靠下方。
        设计意图：引导学生通过已经熟悉的平方根和立方根及指数式的底的对应，对对数符号的书写规则形成类比，培养学生的类比思想，诱发知识的顺应，减少认知负担。
        师：这样，我们可以把（1）中的 x 表示成？--?? = log3 6, 书写规则是：

        3.概念内化阶段：
       师：那接下来，请同学们求一般的对数式的 x:???? = ??，请同学们在草稿本上按书写规范写下来。
        设计意图：从对数概念的特殊式，再到一般形式，体现了抽象概念的认知规律，通过学生自己的书写，体会对数符号规则，有利于抽象概念的掌握。
       师：（板书对数式与指数的转化）接下来，我们将要解剖一下对数概念。我们从这个定义，我们对比一下指数式，可以发现，a 的位置?—还是在下方，所以 a 还是叫？--底数。那 N 叫什么呢？--我们把它叫真数
       设计意图：引导学生进一步分析对数形式，建构对数符号构成的理解。
        师：前面出现的问题，我们把 x 表示一下？现在老师再补充 4 道题，请同学们把前两题的 x表示或求出来，把后两题写成对数形式。小组讨论完成，2 分钟时间(小组活动 1)  

       设计意图：学生在具备一定的对数认知后，及时进行一定数量的、典型的“运算”，从而使学生进行对数概念的“内化”。内化过程的复杂性在于学习者总是依自己的方式理解数学， 而不是按照老师自己理解的方式。[9]因而要给学生充足例子和充足的时间进行“内化”。第一、二小题再次巩固对数的特殊符号；第三、四小题意在理解对数式的值（log3 9 = 2），引导学生掌握对数式转为指数式；
师：小组汇报
       4.概念巩固阶段： 
       师：前面我们学习了对数的概念和两种特殊的对数，我们接下来思考两个问题： 1.是否任何数都有对数？
        2.log?? 1 ,log?? ?? , lg 1, lg 1 0 ,ln 1,ln ??的值分别是多少？
       证明以上两个结论，按小组形式讨论，3 分钟后汇报，上台板书(小组活动 2)
       师：小组汇报
        板书：三、两个结论
        1．log?? 1=0 <=> ??0 = 1 lg 1 = log10 1 = 0, ln 1 = log?? 1 = 0
        2．log?? ??=1 <=> ??1 = ?? lg 10 = log10 10 = 1, ln ?? = log?? ?? = 1
       设计意图：两个一般对数的特殊结论及两个特殊对数的特殊值，是本节课的重点，是学生由特殊到一般化认知的重要途径，有利于学生巩固和内化抽象的对数概念。
        基于 PME 的抽象概念教学，首先要考虑学生的认知发展水平、规律及学生实际水平，重构教学目标、设计好上述四个阶段的关键环节及突破点。其次要重视在四个阶段的实施中， 让学生有机会进行充分“反思”。通过反思遇到的挫折、失误的判断，学生不断洞悉数学思维、领会数学思想方法，从而达到高层次的数学理解水平。[9]实际教学中，学生只有经过充分的“反思”，对抽象概念的反复建构、高层次的理解，才能避免表面上的“理解”、表面上的“会”，达成较好的概念教学效果，破解学生对抽象概念学习的“痛点”。
参考文献：
[1]李士錡. PME：数学教育心理[M]. 上海: 华东师范大学出版社, 2001.
[2]中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准(2017 版)[M]．北京：人民教育出版社，2018.
[3]杨兴军,汪艳菲.“对数的概念”的教学思考——基于深度学习的视角[J].中学数学教学参考,2018(07):14-16.
[4]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京: 北京师范大学出版社, 2006. 
[5]黄友初.从PME 视角看数学抽象素养及其培养[J].教育研究与评论(中学教育教学),2017(02):13-18. [6]朱萍.高中数学《对数》教学引入的分析与改进——基于两位教师的教学比较研究[J].数学之友,2017(05):33-35.
[7]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京: 北京师范大学出版社, 2014.
[8]施良方．学习论——学习心理学的理论与原理[M]．北京：人民教育出版社，2000：223．
[9]朱福胜.数学学习的知识转化机制[J].集美大学学报(教育科学版),2016,17(05):39-43.