石家庄铁道大学 河北石家庄 050043
摘要：随着全国大学生数学建模竞赛活动的开展，越来越多的大学生开始去参加比赛。如何选拔出优秀队员并组成优秀的队伍，是老师和同学们非常关注的话题。本文主要建立层次分析模型和0-1整数规划模型，利用MATLAB对模型求解，解决了选拔优秀队员和确定最优组队的问题。
关键词：最优组队；层次分析法；0-1整数规划；加权平均
1、 问题重述
全国大学生数学建模竞赛活动即将来到，TJ 大学内部共有 20 名同学报名，要根据队员的能力和水平选出 18 名优秀队员分别组成 6 个队，每个队员基本条件量化后如下表，解决问题：1、在20名队员选出18名优秀队员。2、将18 名队员组成 6 个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最高，并给出每个队的竞赛技术水平。
表1队员基本条件 量化表
.png)
2.假设
1)队伍中三个人的单项条件互不影响，并且是互补的.
2)队员均能发挥出正常水平；
3、基于层次分析确定指标权重
层次分析法，简称AHP法，是一种解决多目标、多层次的非结构化决策的有效工具，它通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，逐层检验比较结果的合理性。
（1）建立层次结构模型
目标层（O）：选拔 18 位优秀队员
中间准则层：7 个量化指标
.png)
方案层：20 位待选择的队员
.png)
（2）构造判断矩阵
各队员各指标的得分值可作为方案层对准则层的权值反映，所以只需建立准则层对目标层的判断矩阵。然后我们采用 1-9 比例标度法确定了准则层对目标层的 7 个元素之间反映重要程度的判断矩阵 A ，如表2所示：
表2 O-C层判断矩阵
.png)
（3）判断矩阵的一致性检验
在构造判断矩阵时，是通过自己的判断构造的矩阵，存在一定程度的误差，因此我们需要进行一致性检验，引入一致性指标CI，
.png)
为判断矩阵A的最大特征值
.png)
通过MATLAB求得，
.png)
7.162，
.png)
稍大于0，说明A具有较为满意的一致性。CI可以反映出判断矩阵的非一致性的严重程度，但没有指明非一致性是否可以接受，因此引入随机一致性指标RI，经查找相应的平均随机一致性指标 RI，当
.png)
时，把CI和RI之比定义为一致性比率CR
.png)
求得的
.png)
，所以可以接受判断矩阵A，可以通过一致性检验。
（4）准则层O对方案层P权向量的确定
一般的，判断矩阵A的关于最大特征值
.png)
的归一化特征向量
.png)
反映了各因子对某因素的影响权重，称
.png)
为权向量，满足
.png)
通过MATLAB，求出权向量
.png)
作为准则层O对方案层P的权重向量。
（5）计算综合实力
由于不同的评价条件可能存在不同的量纲，这样进行分析会存在误差，为消除评价条件之间量纲的影响，因此对数据进行归一化处理，原理为：
.png)
根据各项条件的权重，计算出每个队员的综合实力，排序后如表3所示
表3 20名队员综合实力排名
.png)
可以看出，H和I的综合实力排名在最后，因此淘汰H和I。
4、建立0-1整数规划模型
为了使18名队员组成6个队伍的整体竞赛水平最高，我们建立0-1整数规划模型，找出最佳的6支队伍。设问题的决策变量为
.png)
,即
.png)
其中
.png)
由于一个队伍中只有三名队员，一名队员只能并且必须要加入一个队伍,因此需要满足的2个条件:
（1）
.png)
（2）
.png)
我们选取的三名同学每项成绩的最大值作为评价该支队伍各项成绩的指标，
.png)
代表第k支队伍第j项成绩的指标。
要使6个队伍的整体竞赛水平高，建立目标函数
.png)
根据以上条件，我们建立基于0-1整数规划模型的最优组队方案模型，优化模型如下：
.png)
5、 模型的求解
我们采用模拟退火算法求解，因为模拟退火算法可对大规模组合优化问题进行求解，且能在较短的时间内以较大的概率求得全局最优解。具有较强的鲁棒性、隐含并行性及全局收敛性。其流程图如下：
.png)
根据模拟退火算法原理编写matlab程序对问题进行求解。多次运行程序，当目标函数值稳定时，得到多组解，整体竞赛水平为0.765517
表 9 最优组队方案
.png)
6、模型的推广
该模型适用于对多因素，多标准，对多个对象进行综合评价，任务分配等问题进行求解，例如可以推广到三好学生的选拔，参游泳比赛队员的选拔，公司人才的选拔等问题
参考文献
[1]姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1992
[2]宋光兴,邹平.多属性群决策中决策者权重的确定方法[J].系统工程，2002（04）:84-89
[3]朱茵,孟志勇,阚叔愚.用层次分析法计算权重[J].北方交通大学报,1999(05):123-126.
[4]庞彦军,刘开第,张博文.综合评价系统客观性指标权重的确定方法[J].系统工程理论与实践,2001(08):38-43
[5]杜祜康,赵英凯.整数规划问题智能求解算法综述[J].计算机应用研究,2010(02):14-18.