在对话中渗透函数思想——以“字母表示数”一课为例

发表时间:2020/9/10   来源:《中小学教育》2020年第3月9期   作者:龙博望
[导读] “字母表示数”是北师大版数学教材四年级下册第五单元“认识方程”中的内容,主要知识是字母表示数、数量关系、运算律、图形的计算公式,是代数学知识的起始课,也是学生从算术思维到代数思维的关键一课。

        “字母表示数”是北师大版数学教材四年级下册第五单元“认识方程”中的内容,主要知识是字母表示数、数量关系、运算律、图形的计算公式,是代数学知识的起始课,也是学生从算术思维到代数思维的关键一课。第一课时主要是让学生感受到字母既可以表示数,又可以表示数量关系。教学中借助教材青蛙儿歌情境,让学生通过观察、感受、思考、比较、交流,发现字母可以表示一类有范围的数,还能表示数量关系。通过创设和谐课堂氛围,激发生生互动,在对话交流中深化对字母表示数的理解,真正做到让学生站到课堂的正中央。
一、创设情境,导入新课。
         师:关于青蛙有一首儿歌(课件出示:1只青蛙4条腿,2只青蛙8条腿,3只青蛙12条腿,……)一起念。
    生:1只青蛙4条腿,2只青蛙8条腿,3只青蛙12条腿,4只青蛙16条腿,5只青蛙20条腿,6只青蛙24条腿,7只青蛙28条腿
        师:儿歌说完了吗?
        生:没有
        师:为什么没有说完?
        生:因为青蛙只数永远也说不完。
        师:对呀,既然这青蛙的只数说也说不完,你能请字母帮忙很快把儿歌念完吗?
        生:能
        师:你准备请哪个字母帮忙?
        生1:a
        生2:n
        生3:x
        师追问生3:你这个x表示什么?
        生3:表示青蛙的只数。
        师:可以表示哪些数?
        生3:1,2,3,4,5,6,7……
        师:说的多好呀,你能用一个字母把这永远也说不完的儿歌表示出来吗?在练习本上试一试。
        【教学思考】出示儿歌,通过读感受儿歌永远也说不完,那是因为青蛙的只数“说也说不完”,在对话交流中引发学生思考,从而初步体会用符号表示数的必要性,渗透符号思想。
二、讨论交流、构建新知
   活动一:初步探究、感受意义
        投影展示“a只青蛙a条腿”“x只青蛙n条腿”“n只青蛙n×4条腿”
        师:你同意谁的观点,为什么?在小组内说一说。
        生1:我同意第三个同学的观点,因为青蛙的腿数是只数的4倍。
        1.第一次对话辨析
        师:你说的很好,言外之意你不同意第一种表示方法,能说说为什么吗?请对应的学生起立。他不同意你的表示方法。问问他呗。
        生2:为什么不同意?
        生1:因为相同的字母表示相同的数,比如当a代表1的时候,就是1只青蛙1张嘴。
        师:生2你懂了吗?
        生2:(点头)懂了。
        师:你到底懂了吗?
        生2:我还没懂。
        师看向生1说:人家还没有懂,再讲呗。
        生1:你第一个a表示青蛙的只数,可以是任何一个数,但是第二个a不一定是4。
        师:你说a能表示任意一个数,第二个a也能表示任意一个数呀。
        生2会心的点点头一笑。
        生1:那a等于1的时候,第二个a不能表示4。
        师:你怎么想的?
        生2:a可以表示任何一个数,也可以表示4。
        生1:你前面的a已经代表1了,后面的a也就只能代表1,不能代表4了。在这里相同的字母代表相同的数。
        师看向生2:你明白了吗?
        生2开心的笑了:我明白了,谢谢你。
        师:在同一个题里面相同的字母代表相同的数,所以你的表示方法不对。谢谢人家吧。
        生2:谢谢。
        生1:不客气。
        2.第二次对话、辨析。
        师:这是谁写的(x只青蛙n条腿)?(该生3起立)这次腿的条数可与只数不同了是吧,应该就可以了吧?
        生4:我不同意,因为不能看出来腿数是青蛙只数的4倍。
        师:你能具体说一说吗?
        生4:比如说你这个x表示1的话,n不一定表示4。
        生3:我这n可以表示4。
        师:告诉他,你这个n不一定表示4,还表示什么?
        生3:还代表8,12,16等。
        师:对呀,n代表的就不一定是4,还有可能是8,12,16。
        生4:那你这个n在这儿还能代表2,3,不一定只代表4。
        师对生3说:他认为你这个n还有可能代表2和3,你觉得有没有这种可能?
        生3:有可能。
        师对生3说:那你觉得这样表示能让别人清楚的看出来表示的一定是4,8,12这样的数吗?
        生3:不能。
        师:那你觉得这三种表示方法中有没有能一眼看出来的?
        生3:第三种表示方法。
        师:你能把你的改一下吗?
        生3:x只青蛙x×4条腿。
        师:谢谢×××。
        生3对生4说:谢谢你
        生4:不客气。
        3.第三次讨论、辨析。
        师:多好呀,一开始不会,别的同学帮助了你,也就明白了了。来看第3种情况,你们同意吗?(生齐答可以)
        师:你是怎么想的?
        生:因为青蛙的腿数是青蛙只数的4倍,所以要用n×4。
        师:你这个×4哪儿来的呀?哦,是不是1只青蛙4条腿的这个4?
        生:是。
        师:可是8条腿里没有4呀?
        生:8是2 的四倍,可以写成2×4。
        师:12呢?16呢?
        生:3×4;4×4。           
        师:如果用a表示青蛙的只数,腿数怎么表示?
        生:a×4。
        【教学思考】儿童的差错是一种重要的教学资源,愉悦的课堂氛围,促使了生生之间的深度对话,在辨析中进一步感受到了字母表示的是一类数,还可以表示数量关系。渗透一一对应思想的同时,发展学生的符号思维能力。
        活动二:知识迁移、认知升级。
        听过完整的青蛙儿歌吗?我们一边拍手一边念。
        师:你能用字母把这永远也念不玩的儿歌表示出来吗?
        展示两种错误“x只青蛙x张嘴,x只眼睛x条腿”“n只青蛙n张嘴,x只眼睛a条腿”“n只青蛙n张嘴,n×2只眼睛,n×4条腿”。
        师:第一种对不对?(不对)这是谁的?你能说说你是怎么想的吗?
        生1:这是我的,我想字母x可以表示任意的数,腿、嘴巴、眼睛都可以用x来表示。
        师:你能勇敢的表达自己的观点,就应该鼓励,请大家掌声鼓励。
        生2:老师他不对,应该是x只青蛙x张嘴,2×x只眼睛,4×x条腿。
        师:嗯,你能讲讲你那个2怎么来的吗?
        生2:因为眼睛是只数的2倍,所以用2×x来表示。还有就是在同一个题里,相同的字母代表相同的数,如果a等于1的话,那就是1只青蛙1张嘴,1只眼睛1条腿,就不对了。
        师:孩子你现在理解了吗?能不能改一下自己的?
        生1:x只青蛙x张嘴,2×x只眼睛,4×x条腿。
        师:有不会很正常,学明白就很棒,谢谢人家吧。
        生2:谢谢你
        生1:不客气。
        师问生3:孩子,你刚才也是这种表示方法,你现在会了吗?
        生3:我会了。
        师:那你改一下。
        生3:a只青蛙a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。


        师:你能认真的聆听其他同学的发言,找出自己的问题并改正,多么优秀的品质呀!
        师:请大家思考一下,字母在这儿可以表示什么数?
        生4:自然数和其它的数
        师:谁同意他的观点?
        生5:可以表示所有的数
        师:都同意吗?
        (教室瞬间沉默10秒,无人反应)
        师:老师给你们一点提示,可以表示0.2吗?
        生4:可以。
        师:请你念一下儿歌?
        生3:0.2只青蛙0.2张嘴(自己笑、全班笑)老师字母a表示自然数。
        师问生4:你同意吗?
        生4:我同意,不能表示小数,在这个儿歌里青蛙不能为小数
        师:对了,也就是说字母在这儿表示的一类有(生说:有范围)的数。
        【教学思考】用字母表示完整的青蛙儿歌,巩固字母表示数与数量关系,学生依旧有错,在三种方法对比交流中,明确字母表示的数是有范围的,字母还可以清楚、准确的表示数量关系。
        活动三:类推升华,深化“数”理。
        师:你们知道吗?生活中有很多字母表示数的例子,(学生沉默)那老师想问一下你们今年多大?
        生有的喊10岁、有的9岁。
        师:谁是10岁请举手?人数比较多,那就用10代表大家的年龄水平。老师比你们大20岁,老师今年多大?
        生:30岁
        师:你们去年多大?(9)老师多大?(29)明年你们多大?(11岁)老师呢?(31)
        师:如果用一个符号表示你们变化的年龄,你准备用什么符号?
        生:字母。
        师:选哪个字母表示?   
        生:x。
        师:那老师的年龄怎么表示?
        生:x+20。
        师:你这里的20哪儿来的?
        生:老师比学生大20岁,就是x+20。
        师:这里的20从哪儿来的?
    生:年龄差永远都是20岁,所以用x+20。
        师:你能讲的更具体吗?
        生:我们9岁时,老师是9+20岁,我们10岁时,老师是10+20岁,我们11岁时,老师11+20岁。
        师:同学们你们看出来了吗?在这儿年龄差20岁一直不变,有没有变化的呢?
        生:学生的年龄一直在变。
        师:对呀,虽然你们的年龄一直在变,但是有一个不变的年龄差20,当我们用字母x表示你们一直在变化的年龄时,根据这个不变的数20我们就能表示出教师的年龄是x+20岁。这种变与不变的规律,青蛙儿歌里有吗?
        生:青蛙的只数一直在变,但是腿数是只数的4倍关系一直不变。
        师:观察的多仔细呀,因为有变与不变的规律,我们才能表示出这变化万千的世界。
        【教学思考】用字母表示一种变化的量,用含有字母的式子表示结果和过程,对学生的学习来说是更抽象的,借助不断变化的量“教师年龄”“学生年龄”意在渗透将字母当成一类变化的已知量参与运算,渗透函数思想。
        活动四、对比辨析生活中字母表示的例子与字母表示数的区别
        师:你们还能举一个生活中字母表示数的例子吗?
        生1:扑克牌中Q表示12。
        师:虽然字母表示数了,和我们这节课字母表示数的意义相同吗?
        生:不同。
        生2:停车时的p。
        师:那代表什么?
        生2:ping车场的拼音缩写。
        生3:不对,那是ting,不是p。
        生4:应该是英文字母Park的第一个字母。
        师:你说对了,P就是英文单词的第一个字母,表示数了吗?
        生齐答没有。
        生:电梯里的4F
        师:F在这儿F代表什么?
        生:Floor的第一个字母。
        生5:还有KFC,不过那也是文字的缩写,并不表示数。
        师:是呀,生活中很多地方都用到了字母,但是并不一定表示数和数量关系,只是人们为了方便、简洁的表示某种含义。通过一节课的学习,同学们已经学到了很多知识。你能将所学的知识学以致用吗?
        【教学思考】:强化本节课字母表示一类数的本质特征,联系生活区别字母缩写与字母表示特定数的例子,完善认识。
        三、巩固新知,学以致用。(略)
        师:请同学们打开书翻到课本62页完成课后练一练的第一题、第二题。
        师:请同桌先交流一下你们的想法。(学生间交流想法)
        师:有没有发现什么问题?
        生1:刚才我同桌将哈雷彗星下次出现的时间写成76s了
        师:同桌,你来说说,你是怎么想的?
        生2:将题念完后直接说是76s。
        师:你能给同桌再讲一讲吗?
        生1:因为今年是s年,每76年才出现一次,所以下次就是s+76
        师问生2:你懂了吗?
        生2:还不懂
        师问生1:你能给讲的再清楚点吗?
        生1:还可以这样想,假如s是2019年,那76×2019就太大了算不出来、不可能,下一次出现就是2019+76
        师:你现在明白了吗?讲不清楚时,可以举(例子),别人一下子就明白了。
        指名讲解(略)
        【教学思考】利用课后练习,检测本节内容的掌握情况,查漏补缺的同时,
为第二课时教学奠定基础。
        四、知识梳理、反思提升。
        师:这节课你有什么收获呢?
        生1:知道字母可以表示数,还可以表示数量关系
        生2:我知道生活中还有很多字母,但是他们都不是表示数。
        生3:我还知道了,讲不清楚时可以举例子。
        师:你还有什么疑问吗?
        生3:除了26个英文字母,还有哪些字母可以表示数?
        生4:字母表示数还会在哪儿用到?
        师:大家可以带着这样疑问课后再去学习,也留个大家一节关于字母表示数的微课,希望能给大家了解字母表示数的历史有所帮助。下课!
        【教学思考】回顾梳理本节课所学的重点知识和重要的学习方法,通过深度思考,产生疑问,促进课后的持续思考。微课作业的形式也更利于学生去进行学习。
        
        我的思考:
        首先借用陕西数学名师张静老师的一段话:《字母表示数》这节课我曾经听过很多次,但龙老师这节课却给了我全新的,不一样的感受。他没有改变书上创设的情境,也没有增加许多我们没有想到的环节,但这节课却让所有的人眼前一亮。为什么?因为学生太出彩。
        因为尊重学生,尊重学生的视角,尊重学生的思维,尊重学生的表达,老师在课堂上往后退,给学生充分的时间和空间,给了学生教学生的机会。
        诚然,这节课没有眼前一亮的环节设置、也没有精美的教具课件、甚至缺乏唯美的语言表达,但就是这样一节普通的课,为什么在很多老师眼里不普通呢?我想一切应该归功于孩子们的精彩表现、归功于教材编写者的精秒设计、归功于同仁们大量的观点分享。
        数学课程标准指出:学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者、合作者;学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。尊重学生就是要给学生思考的时间、表达的机会、交流分享的可能,当每一个孩子都有可能表现自己、都有可能成功的时候,学生的主体地位才算是得到了彰显。认真的倾听每一个孩子的发言、真实的分享每一种字母表示的成果、真诚的解答每一个孩子的困惑。在表达、分享、解答时,学生间的思维碰撞将学习思考的过程具象呈现在了老师们的眼前,才使得每一个观课者得以欣赏儿童世界的绚丽多彩。我想正是因为窥探到了儿童世界的美妙,老师们才会表明孩子很优秀的观点。
        教材的科学准确编写,使得学习在课堂上真实的发生成为可能。维果斯基的最近发展区理论强调,“介于儿童自己实力所能达到的水平(如学业成就),与经别人给予协助后所可能达到的水平,两种水平之间有一段差距,即为该儿童的可能发展区”。正是因为遵循字母表示数的发展规律,才使学生的学习沿着“青蛙只数说也说不完”→“用字母表示数”→“全国小孩错的都一样”→“字母表示数量关系”→“生活中的应用”这样的发展路径,经历了深度学习的思维过程。
        北师大出版社2015版四年级下册教师参考用书中首次将“函数思想”写进了本节课的教学目标,足见其重要价值。中国科学院院士、数学家张景中曾指出:小学生学的数学很初等,很简单;尽管简单,里面却蕴含着一些深刻的数学思想,最重要的首推函数思想。吴正宪主编的《和吴正宪老师一起读新课标》中指出:“凡是有变化的地方都蕴涵着函数思想”。本节课中如何有效渗透函数思想呢?与“变化”相对应的是“不变”,变化对应的是函数中的自变量、而不变的量则对应函数式中的常数,这样的概念对学生来说很抽象,但是“变”与“不变”学生是可以感受到的,所以本节课的画龙点睛之笔就在于将年龄、儿歌中的数与数量关系,用“变”与“不变”进行沟通,让学生感受到字母表示的是一组变化的量,用不变的一个数可以表示出另一组变化的量。抓不变也成为了这节课重难点突破的关键,学生能很快的发现4倍的关系,如何让思维外显,则是借助于具体的数,在一一对应中发现不变的4倍关系。有此基础,表示完整儿歌时的2倍关系、理解年龄问题中差20的关系也就顺水推舟了。对应思想、符号思想都蕴含其中,这节数学课就有了“魂”和“魄”。
        我想生本课堂的魅力就在于“留给了学生思考、分享、交流的时间和机会后,教学会变成无限可能的精彩呈现”,这也是生本课堂让人向往、愿意为之努力的根本所在。
       
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