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用“消元”思想统一数列问题

发表时间：2020/9/11 来源：《中国教工》2020年12期作者：李良

[导读] 《数列》是高中数学六大主干知识之一，由于其涉及的方法多，要求学生的能力高，能考查学生的数学思想与思维能力，所以历来被高考所重视

        李良
        永安市第九中学    366000
        《数列》是高中数学六大主干知识之一，由于其涉及的方法多，要求学生的能力高，能考查学生的数学思想与思维能力，所以历来被高考所重视。本文试用“消元”思想统一数列中常见问题、常见方法，让我们看清本质，掌握数学思想与思维方法，而不是为了方法而学方法。
        　关键词：   数列    消元    求通项    求和
1预备知识
1.1从知识看本质
            等差数列                   等比数列

        ①所有公式中只含有，不含（本文称之为无关项），则所有问题（求通项、求和）的推导都围绕着如何消去无关项而设计（也即本文的出发点）
        ②所有公式只涉及五个基本量。因此可以用“知三求二”的思想解决所有问题（即转化为基本量的计算—化归与转化思想）
1.2递归模式与“消元”思想
        波利亚在他的三大名著《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》中为我们给出了一种解决问题的基本模式——递归模式：
①得出某序列的第一项
②找出某个关系，将序列的一般项与前面的那些项联系起来
③借助前面的项一个连一个依次递推，把所有项求出来
        递归模式主要解决数列中的求通项问题，进而用于解决数列中求前n项和问题。由本文可知，递归模式解题的关键是找到递推关系，在消去中间无关项和只保留首末项的指导思想下寻求解决问题的具体办法—“消元”思想（消去无关项）。
        2“消元”思想推导数列基本公式

2.2 求和

②裂项相消法
注意到 ,让每项变裂时都出现分母，即

        　从上面推导过程可看出，方法要多种多样，但都围绕着消去无关项这一本质，即：“消元”思想.根据这些，我们可以想到，遇数列问题，首先应找到递推关系，在设计消元方法上，能转化为等差，等比的就转化，否则退而找其次，看能否应用上面这些方法（迭代消元法，累加消元法，累乘消元法，倒序求和法，错位相减法，裂项相消法等），再不行，注意观察结果，设计出消去无关项的方法来。

        以上分析从另一个侧面展现了数列中常见问题的思想方法。在更高层次上对数学方法做一个统一，即用数学思想（消元思想）指导方法。有利于提高学生的数学素养，数学能力。从而摆脱方法的束缚，特别对提高学生解题能力有一定帮助。
参考文献：
翁聿中、陈祖   《数学题解法的探索与发现》北京地质出版社2002 年