张可伟
浙江省宁波市北仑区泰河学校 315800
【摘要】 模型思想是小学教学的十大“核心概念”之一，在教学中，教师需要引导学生从已有的生活经验出发，让他们通过观察、猜测、验证、推理等数学活动，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
【关键词】建构数学模型 体会数学思想 解决实际问题
“植树问题”是一个经典的教学内容，新课改后将其从四年级下册移至五年级上册。本单元包含三个例题，主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
一、精准把握促进教学
在实际的教学中，这部分的内容还是让老师和学生感到头疼。教与学困难在
哪里呢？
于教师：首先，植树问题类型多。总的来说可分为两种类型：封闭和不封闭状态下植树。封闭图形中植树，可以是圆形，可以是长方形、正方形等。而不封闭情况下植树又可分为一侧植树和两侧植树；其次，植树问题情况多。无论是一侧植树还是两侧植树，都包含三种情况：两端都种、只种一端、两端都不种。这三种情况所蕴涵的间隔数和棵数之间的关系是不同的。再次，封闭图形中植树情况和只种一端情况要帮助学生沟通建立联系。
于学生：首先，多数孩子第一次接触此类问题，两种类型、三种情况下植树时，棵数和间隔数之间的关系理解有一定的困难，为什么有时棵数是间隔数加1或减1，有时棵数就是间隔数，又不用加1或减1了。学生只机械性地去记忆数学模型，套用模型，而缺少真正地理解。其次，学生很难把已学的植树问题和现实原型联系起来，灵活解决实际问题存在一定的难度。如现实生活中的锯木头、爬楼梯、敲钟等问题，其本质是运用植树模型来解决此类问题，也是对模型思想进一步深化的过程。但是由于情境发生了变化，学生就找不到“间隔数”和“棵数”，自然解决就出现一定的难度。再次，在三类基本模型的基础上，还有很多变式，有时要根据需要求总长、求间隔，学生就因为缺乏深入理解，无从入手。
二、体会思想建构模型
数学思想是数学的灵魂，数学方法是使这一灵魂得以展现的途径。在数学教学过程中，要用数学思想指导数学基础知识教学，在数学基础知识教学中培养思想方法。因为数学思想方法的教学是学生形成良好的认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁，是培养数学意识、形成优良思维素质的关键。“数学广角”中的“植树问题”，承载了基本的数学思想方法──“化繁为简”“数形结合”“一一对应”和“模型思想”等，使学生从中发现规律，再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
1．感悟“化繁为简”的思想
人们在面对数学问题时，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题转化为比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决。这种数学思想就是“化繁为简”的思想。
在教学中，笔者把教材中的小路总长“100米”改为了“1000米”， 让学生猜一猜需要栽多少棵树，为了验证猜想，自然产生在绳子上打结、画线段等验证方法。
但是在画图时引发困惑，使学生直观地感受到“1000米”这个数据太大（比100米更有感受），画起来麻烦，从而迫使学生另寻蹊径，内心产生化繁为简的急切需求，感悟到从简单数据入手研究寻找解决这类问题的规律。然后再缩短小路的长度，选择短距离（20米），用画图的方式得出结果，待学生找到规律后再解决这个问题就简单多了。
2．渗透“数形结合”的思想
数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想。
在研究20米长的小路上种树时，引导学生用自己喜欢的方法画一画，学生们都用线段表示小路，有用、也有用图形（圆、三角形、点等）来表示小树苗；最后简化成用 “___”代表一段路，用“∣”代表一棵树，画“∣”就表示种了一棵树。无论是哪种表述方法，其根本目的都是把抽象的数学语言、数量关系与直观几何图形结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂的问题简单化，抽象的数量关系具体化。学生根据图示，很容易发现规律，这种“以形助数”是解决数学问题中常用的思想方法。
3．明晰“一一对应”思想
“一一对应”思想是小学数学教学中常用且非常重要的思想方法，它通过联结点的对应，帮助学生更加简单、形象地理解知识，特别是对于抽象逻辑思维不是很强的小学生来说，显得尤为重要。
不封闭情况下的三种植树问题，最关键的是让学生通过观察、操作、交流，理解三个数量关系，这也是本课时的教学难点。两端都种情况下为什么棵数是间隔数加1？只种一端情况下棵数就等于间隔数？两端都不种的情况下又为什么棵数是间隔数还要减1？为更好地理解有时“加1”，有时“减1”，有时“不加不减”问题，在让学生画一画，黑板上摆一摆后，利用圈一圈的方式（边圈边说：一棵树对应一个间隔，一棵树对应一个间隔……），通过形象的操作方法抽象出数学模型（棵数与间隔数的关系），接着再用抽象出来的模型解决一般性的问题。抓住教材中蕴含的“一一对应”，有效地将抽象的、复杂的数学知识形象化、简单化，能帮助学生更好地理解不封闭情况下的三种数量关系。
4．体验“模型思想”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。“数学模型”是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。在“植树问题”实际教学过程中，教师需要引领学生在经历“问题情境──发现规律（建立模型）──深化规律（再次建模）──验证规律──解释运用”的学习过程中逐渐领悟的。
教学先从1000米的小路一边植树开始，发现数字太大不便操作，继而改为20米的总长，让学生经历操作、讨论、交流（先呈现两端都种的情况），建立植树模型；接着引导学生逐层深入地进行推理研究（只种一端和两端都不种），从而深化植树模型；接着，引导学生去验证规律（30米、35米小路一边种树也存在这个规律呢？）；最后，举一反三，触类旁通，去解决更多的实际问题。
这样的教学，也正体现了“数学教学应从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展” 的要求。