张昕
江苏省连云港外国语学校 江苏连云港 222003
摘要：在初中阶段，数学科目的学习对于学生而言具有一定的难度，教师要学会采用恰当的教学模式，运用合理的解题技巧开发学生的数学思考思维，这对于学生在初中阶段的数学学习有着至关重要的作用。在初中数学课本中，全等三角形作为其中的重点内容，要求教师与学生要对其中的证明思路进行总结归纳并帮助学生学会举一反三，拓展思路。本文从全等三角形入手，在列举几种有关全等三角形的证明方法的同时，对全等三角形的拓展思路展开了研究。
关键词：初中数学；全等三角形；证明；拓展思路
由于初中数学知识的抽象性，初中数学的教学情况还不太乐观。全等三角形证明等相关题目作为初中数学中的重要内容，要求学生对此必须熟练掌握与灵活运用。面对全等三角形的相关证明题目，教师需要在给学生总结解题技巧的同时归纳相关的拓展思路，这对于学生的解题效率以及思维开发具有至关重要的作用。
一、利用截长补短法构建全等三角形完成证明
在初中数学关于全等三角形的教学过程中，教师应当充分发挥自身的引导作用，根据自身多年的解题经验以及知识储能给予学生科学的解题思路，通过有关全等三角形的经典题目，激发学生的求知欲，在开发学生逻辑思维能力的同时提高数学学习积极性，学会从题目条件中发现解题思路，通过构建全等三角形进行证明。下面以“截长补短法”为例进行说明：
例：已知△ABC中，∠A=60°，BD是∠ABC平分线，CE是∠ACB的平分线，
BD与CE的交点是O，判断BE、CD、BC之间长度数量关系，并加以证明。
解：在BC上取一点为F，使BF=BE，连接OF，在△BEO和△BFO中，利用边角边定理，得△BEO≌△BFO，∴∠BEO=∠BFO,∵∠A=60°，∴∠BOC=90°+1/2∠A=120°，∴∠DOE=120°，∴∠A+∠DOE=180°，∴∠AEO+∠ADO=180°，∴∠BEO+OFC=180°，∵∠BFO+∠ODC=180°，∴∠BEO=∠BFO，∴∠OFC=∠ODC，利用角角边定理证得△CDO≌△CFO，∴CD=CF，∴BC=BF+CF=BE+CD
通过以上题目，体现出学生可以利用题目所给条件，在大脑中形成自己的想象图形，利用辅助线与解题思路提高学生的证明效率。因此，教师要在教学过程中注重培养学生的想象能力、思考能力，使学生能够举一反三，以便应对不同类型的题目。
二、运用倍长中线法构建全等三角形并加以证明
教师在对学生讲解相关全等三角形证明题目时，要学会从题目中寻找解题突破口，引导学生利用突破口构建全等三角形继而完成证明。学生从题目中挖掘有价值的信息，有利于提高学生自信心，继而实现不同题型之间的有效联系。
下面以“倍长中线法”为例进行说明：
例：在△ABE和△ACD中，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AM⊥CD
解：延长AM使MN=AM，连接BN ∴△BMN≌EMA ∴BN=AE，∠E=∠NBM ∠AON=∠DAE=90°∵∠ABN+∠BAD=90° ∠CAD+∠CAE=90° ∠BAD=∠CAE ，∴∠ABN=∠CAD 又∵AE=BN=AD ∴△ACD≌△ACN ∴∠D=∠N ∴∠MFD=∠DON=90°∴AM⊥CD
从上述题目中可看出，题目并不是难在其图形的抽象性，而是难在寻找证明的规律与方法，学会从题目条件与图形中寻找切入点，画出有利于证明的辅助线，有利于开发学生证明思维。
三、全等三角形证明的拓展思路——以证明两线垂直为例
学生对全等三角形的进行基本学习后，已经熟练掌握了全等三角形的判定定理，并学会了在一些简单的题目中有所运用。但仅仅掌握简单的定理与性质还不够，需要对全等三角形的证明题目加以了解探究，要从简单的证明题目拓展到有难度有层次的题目中，以便应对各种层次难度的题目。针对于全等三角形证明的拓展思路，下面以“证明两线垂直”展开说明。
例：两个一大一小的等腰直角三角形拼接于一起（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试探究AE与CD的数量与位置关系，并予以证明。
证明：在△AEB与△CDB中，AB=CB ∠ABE=∠CBD EB=DB，根据边角边定理得△AEB≌△CDB，∴AE=CD 延长AE与CD相交于点F，∵△AEB≌△CDB ∴∠EAB=∠ECD 又∵∠AEB=∠CEF ∴∠AEB+∠EAB=∠CEF+∠ECD ∵∠AEB+∠EAB=90° ∴∠CEF+∠ECD=90°∴∠EFC=90°∴AE⊥CD
通过解题经验的积累，两条线段的位置关系通常是平行或者垂直，通过画图观察可以猜想为垂直。上述题目是通过已知三角形的对应角相等，从中间等量关系研究思路入手来进行证明分析，这种思想称之为转化思想。学生们利用转化思想探讨几何图形之间的联系时，要从大小和位置两方面考虑，否则会使解题过程有失水准。利用三角形内角和等于180°、三角形内角角度是否相等等思路可以加快解题速度。因此，教师要学会采用具有科学性、逻辑性的教学方法引导学生灵活运用证明技巧，从题目已知条件中寻找突破口，在完成证明的同时，拓展自身的解题思路。
结语：
总而言之，对于全等三角形的证明题，不能要求学生只停留于学会掌握定理、运用性质等类似的简单层面上，要引导他们对全等三角形的证明题进行深度剖析与探究，从中找出可以拓展应用的思路，帮助提升学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]沈达.初中数学全等三角形的证明总结和拓展思路研究[J].数理化解题研究,2019,(29):28-29.
[2]宋炎娣.探索初中数学全等三角形的证明总结和拓展思路[J].考试周刊,2018,(17):83.
[3]黄静亚.基于交互白板的初中几何证明教学设计 ——以"全等三角形的拓练习"教学为例[J].数学教学通讯2019,(2):25-26.
作者简介：张昕，男，汉族，江苏连云港，本科，研究方向：初中数学几何画板