高孝军
河北省临西县第一中学（河北 临西 054900）
《最短路径问题》是人教版《数学》八年级上册第85页13.4课题学习的内容。在本节内容中，编者把 “连接两点所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，称为最短路径问题。在解决最短路径问题时，运用将军饮马和选桥选址寻找最短路径问题，说明了数学问题来源于现实生活，反过来又运用数学知识来解决现实生活中存在的数学问题。通过13.4课题学习，我们深深地知道，最短路径问题是从生产生活中提炼出来的，并不是人为的凭空臆想而得到的。
在最短路径问题中，我们必须明白最短路径其实就是一个起点，从哪儿开始；一个终点，到哪儿结束。我们只要把握住起点在哪儿开始，终点又从何处结束，运用转化的思想方法，由“折”转“直”，就解开了其中的奥妙。透过现象看清其本质，才能达到融会贯通，举一反三的效果。
解决最短路径问题的理论依据是：1.基本事实“两点的所有连线中，线段最短”2.“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。 解决最短路径问题的解题方法是：在研究的过程中，可能需借助角、三角形、矩形、菱形、圆、梯形、平面直角坐标系、抛物线等知识背景来建立数学模型，再利用轴对称、平移、三角形三边关系定理等将已知问题转化为符合上面两个结论的问题，从而选择出最短路径。
对于最短路径问题，我想从平面几何、立体几何两个方面来进行分类解析。在平面几何中，只研究平面上的直线和二次曲线中的双曲线、抛物线中的最短路径问题，在立体几何中，只研究立体图形展开图中的最短路径问题。
一、平面几何中的最短路径问题
（一）点与点的最短路径问题
从点与点之间的最短路径问题，我们一定会想到两点之间线段最短。而两点之间线段的长度又称为两点之间的距离。进而又想到，两点之间的线段不可能只有直线，也可能具有曲线、折线等。那么又可以理解在三角形中两边之和大于第三边的知识，来解决最短路径问题。
（二）点与直线的最短路径问题
从直线外一点与直线上各点的连接的线段中，垂线取最短，也就是说这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离，即垂线取最短，而垂线段的长度叫做点到直线的距离。
（三）两点在直线同侧的最短路径问题
如图1（课本问题）：点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A与点B的距离之和最短？
这个问题可以转化为在直线L上求一点P，使PA+PB值最小。那么这个问题中，我们把A点定为起点，B点定为终点。从点A到点B的最短距离就是把AB看作是一条直线上的两个点。根据“两点确定一条直线”，可知直线AB与直线l相交于一点，这个交点即为所求的点P。而线段AB位于AB所在的直线上。所以PA+PB的最小值即为线段AB。由此，我们可以根据“两点之间，线段最短”来验证PA+PB的最小值即为线段AB这个问题。如图1-1。
（四）两点在直线l同侧的最短路径问题（有起点，有终点）
如图2：（课本问题），牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
如果把河边l近似看作一条直线l，C为直线l上一个动点，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC+CB的和最小。
在这个问题中，我们把点A定为起点，点B定为终点。点C是位于河边l的一个动点。如何使AC+BC的和最小？要使AC+BC的和最小，只能使点A、点C、B在同一条线段上。结合两点在直线异侧的这个知识点，只要把其中的一个点移到直线l的另一侧构造出图1的模型，问题不就解决了吗？而如何才能构造出图1的模型，使问题得到解决。
只能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点C,将所求两条线段之和转化为一条线段的长。即将一条折线转换成一条直线，体现由“折”转“直”的转化思想。
如图2-1，作出点A关于直线L的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点C即为所求。所以AC+BC的和最短（证明略）。
（五）一点两线中的最短路径问题
在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行、相交两种情况，而两条直线垂直是相交中的特殊类型，现分三种情况研究一点二线中的最短路径问题。
1、一点在两条平行线之间的最短路径问题
如图3：点C位于两条平行线l、m之间，在l、m上各找一点A、B使AC+BC最短。
从图3中可以发现，如果去掉一条平行线l后，图3就转化为点与直线的最短路径问题，即利用垂线段最短的知识。求得BC为点C到直线m的最短路径。同理可得AC为点C到直线l的最短路径。如使AC+BC最短，点C、A、B三点在同一条直线上，即点C在线段AB上。
如图3-1：从此图中我们发现线段AB正好是两条平等线之间的距离，即两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度即为两条平行线之间的最短路径（证明略）。
2、一点在两条相交直线之间的最短路径问题
（1）、一点在两条相交直线（不是垂直）之间的最短路径问题.
如图4：直线l与直线m相交于点O（∠LOM＜90°），点C位于∠LOM的内部，在直线l上求点A，在直线m上求点B。使AC+AB+BC的值最小。
要想使AC+AB+BC的值最小，必须使这三条线段转化到同一条线段上。只要做出点C关于直线l的对称点D，点C关于直线m的对称点E。连接D、E。线段DE与直线l、直线m相交于A、B两点。
如图4-1。连接CA、CB是运用“轴对称”、“两点之间，线段最短”的知识，将折线AC—CB—AB转化为线段DE，使AC+CB+AB的最小值为线段DE（证明略）。
（2）、（只有起点，没有终点）一点在两条相交直线（垂直）之间的最短路径问题。
如图5：直线l⊥直线m，垂足为O，点C位于
∠LOM内部，在直线l上求点A，在直线m上求点B，使AC+AB+BC的值最小。
如图5-1：根据一点在两条相交直线之间的最短路径问题的解题思路，可运用轴对称的知识作出点C关于直线l，直线m的对称点D、E，交直线l，直线m与点A、B。连接DE、OC。此时△DCE是直角三角形。D、O、E三点在同一条直线上， DE经过点O（DE与直线l，直线m没有交点。），即点A、点B与点O三点重合。此时从点C沿直线走到点O处，再从点O沿直线返回到C处。即AC+AB+BC的最小值等于OC+CO两条线段之和。
（3）、一点在两条相交线之间与线段的最短路径问题（只有起点，没有终点）。
如图5-2，直线m与直线n相交于点O、点P位于∠MON的内部。在直线m求点A，在直线n上求点B，使PA+AB最短。
由图5-2可知，点A、B是两个动点，其具体位置不能确定。但通过对PA、AB这两条线段进行观察之后发现点A位于直线m上，点B位于直线n上，要想使线段AB最短，那线段AB只能是点A到直线n的垂线段。正好运用“垂线段最短来解决这一问题。要使PA+AB的路径最短，可运用轴对称的知识将PA+AB转化为两点之间线段最短来解决。
如图5-3，作点P关于直线m的对称点P′，过点P′作P′B⊥直线n，垂足为B。P′B与直线m相交于点A，连接AP，这样PA+AB的最短路径为线段P′B的长。
（六）两点两线中的最短路径问题
1、两点在两平行线异侧的最短路径问题
（课本问题2）如图6（造桥选址问题）。A和B两地在一条河的两岸。现在河上造一座桥MN。桥建在何处可使从A到B的路径AM+MN+NB最短？（假设河的两岸是平行的直线；桥要与河垂直，因为垂线段最短，桥短节省造桥成本。）
从图6中我们发现，桥MN的宽度是一定的。要使AM+MN+NB的值最小，只需求AM+NB的值最小就可以。这样我们就可以把桥MN去掉，直线a与直线b就重合了。图6的图形模型就转化为两点在直线异侧的最短路径问题。运用“两点之间线段最短”的知识来解决问题。
如图6-1：因为桥MN与河岸垂直，过点A作AD⊥直线b，垂足为D，使AA′=MN，连接A′B，与河岸b交于N，作MN⊥直线b，与直线a交于点M。即在N处造桥可使AM+MN+NB最短。
2、两点在两相交直线上的最短路径问题
如图7，直线a、直线b相交于点0（规定∠COM＜90°）。在直线a上求点M，在直线b上求点N，使AN+MN+MB的值最小。
如图7-1，已知点A位于直线a上，点B位于直线b上，且点A、点B为定点。在AN+MN+BM中点M、N为两个动点，线段MN的长度无法确定。要使AN+MN+BM的路径最小，只能从AN+MB的最短路径来思考。这样把AN+MB的最短路径问题又转化为利用轴对称的问题来解决。
作点A关于直线 b的对称点A′，作点B关于直线a的对称点B′，连接线段A′B′，交直线a、b分别于点M 、N，则点M、N即为所求。连接AN、BM。运用两点之间，线段最短将AN-MN-BM折线转化为线段求 A′B′的长，所以AN+NM+BM的路径最短。
3、两点在两相交直线内部的最短路径问题。
如图8，直线m和直线n相交于点O、点A、点B在∠COD的内部。在直线m上求点C，在直线n上求点D，使AC+CD+BD的路径最短。
从图8-1可知，要想使AC+CD+BD的路径最短，必须使A、C、D、B四点位于同一条直线上。过点A、点B作关于直线m、n的对称点A′、B′。连接A′B′交直线m、n与点C、D， 则C、D即为所求的交点。连接AC、DB。这样AC+CD+BD的最短路径即为线段 A′B′的长。
（七）已知确定线段长与最短路径问题
1、两点一线一线段问题
如图9：点A、点B位于直线l的同侧，点M、点N在直线l上（M在左），且MN=a，在直线l上求MN，使AM+MN+NB的和最短。
从图9中可知，线段MN=a是固定不变的，不必考虑，去掉MN，求AM+BN最短就转化为两点在直线同侧的最短路径问题了。所以将A向右平移a个单位到 A′，使AA′=a。作A′关于直线l的对称点C，连接CB，交直线l与点N。连接A′N。这样，将求A′N+BN的最短路径转化为求线段CB的长。将点N向左平移a个单位，得点M，使MN=a。连接AM,则AM+MN+NB的路径最短。如图9-1所示。
2、两点两线一线段的最短路径问题
如图10，直线EO、直线FO相交于点O，线段QP位于
∠EOF内，在直线EO上求作点M、直线FO上求作点N，使QM+MN+NP+PQ的路径最短。
从图10中不难发现点Q、点P固定，则线段QP的长度一定，QP不影响QM+MN+NP的取值。只需考虑QM+MN+PN的取值。因为点Q、点P两点位于两条直线OE、OF的内部，正好又符合两点在两相交直线内部的问题。可借助轴对称的知识使QM+MN+NP的长正好等于线段Q′P′的长将QM-MN-NP 由“折”化为“直”。 使QM+MN+NP+PQ的路径最短。如图10-1。
（八）与圆有关的问题
如图11，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l的一个动点。若PB切⊙O与点B，则PB的最小值为（ ）。
由图11可知，点O到直线l的距离为3，则OA=3。若想求PB的最小值，必须知道OB与OP的长。又因为OB为⊙O的半径，则OB=2。只要能保证OP为最小就可以。在考虑OP取最小值时，因O是直线l外一点，根据一点一线的最短路径问题可知，点O到直线l的是短距离是点O到直线l的垂线段OA的长度。所以当 OP与OA重合时，OP取最小值为3。因为点P为直线l上一动点，当P移动到点A时，OP与OA重合时，OP取最小值3。∵PB是⊙O的切线，则∠OBP=90°。运用勾股定理求PB的长为
。
（九）、坐标系中的最短路径问题
在平面直角坐标系中，求最短路径问题，依然是运用“轴对称” “两点之间线段最短”“一次函数”等有关知识来求最短路径。
1、在数轴上的最短距离。
如图12，已知A、B是数轴上的两点。A、B两点的最短距离为
2、在平面直角坐标系坐标轴上的最短距离。
如图13，平面直角坐标第不中x轴，y轴上的最短距离与数轴上的最短距离的求法完全一样。
。这种方法同样适用于两点所在线段与横轴、纵轴平行的情况。
3、坐标平面内两点之间的最短距离。
如图14、AB两点的最短距离是线段AB的长。可构造直角三角形利用勾股定理来求AB的长。
过点A作
轴，交X轴与点D，过点B作
轴，交Y轴与点E。AC、BC相交于点C。可知∠C=90°。
线段AC=AD+DC。而AD=|b|，DC=|n|；∴AC=|b|+|n|，即|AC|=|b-n|；
线段BC=BE+EC。而BE=|m|，EC=|a|；∴BC=|m|+|a|，即|BC|=|a-m|。
根据勾股定理：AC2+DC2=AB2
从而得出坐标平面内两点之间的距离公式。即坐标平面内两点之间的最短距离。
4、求点到两定点的距离之和最短的坐标问题
如图15、已知直线l是一、三象限的角平分线，在直线l上确定一点Q，使点Q到点D（1，-3），E（-1，-4）两点的距离之和最小，求出Q点坐标。通过观察点D和E，发现点D、点E两点位于直线l的同侧。要想在直线l上确定点Q，可以运用两点在直线同侧的最短路径问题确定点Q位于直线l的哪个位置。要运用“轴对称”、点关于x轴、y轴、一三象限角平分线、二、四象限角平分线的有关知识来解决此类问题。因为点A（x, y）关于x轴的对称点是A1(x，-y)；关于y轴的对称点是A2（-x, y）；关于一三象限角平分线上的点是A3（y, x）；关于二四象限角一部分线上的点A4(-y, -x)。
所以，点D(1,-3)关于直线l的对称点的坐标为D1（-3，1），连接D1E交直线l与点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小。
确定了点Q的位置后，直线l与直线D1E的交点即为Q点的坐标。
二、立体几何中的最短路径问题
在立体几何中，一般是以长方体、正方体、圆柱体为载体而出现的题型。其主要做法是将几何体求其展开图，运用“勾股定理”“ 两点之间线段最短”“ 轴对称”等知识来来求其最短路径。
（一）棱柱体中的最短路径。
棱柱体包括三棱柱、四棱柱……等等，更有正棱柱和斜棱柱之分。仅以长方体为例说明最短路径。如图16。有长、宽、高分别是4cm、3cm、5cm的长方体。A点处有一只蚂蚁，沿长方体表面爬到G点觅食，则需爬行的最短路径为多少？
如右图所示，此棱柱体的侧面展开图展开之后可以分为三种情况：如图16-1将前面和上面展开。如图16-2将前面和右面展开。如图16-3将左面和上面展开。利用两点之间线段最短寻找出蚂蚁爬行的最短路径，再运用 “勾股定理”完成其计算，比较。从而选出蚂蚁爬行的最短路径是哪一条路径。
（二）圆柱体中的最短路径问题
如图17所示的圆柱体侧面A点和B点之间缠丝带（宽度忽略不计），圆柱高6cm，底面周长为16cm，则缠丝带长度的最小值为多少？
从图17中发现丝带从点A缠到点B的丝线是一条曲线，从实体圆柱中是无法得出计算的，但把圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的高是圆柱的高，长方形的长是底面圆的周长，同时结合两点间的距离和线段AB的长即为丝带的长度，利用勾股定理即可求得丝带的长度，如图17-1。
（三）锥体中的最短路径问题
如图18，一个底面半径为1，母线长为4的圆锥底部有一点A，一只蚂蚁从A出发，沿圆锥的侧面爬行一周到达A点，求蚂蚁的最短路径。
在如图18-1中，发现圆锥的侧面展开图是一个以点P为圆心，PA=4为半径的一个扇形，扇形的弧长为底面圆的周长。如图18-1，蚂蚁从A点出发往圆锥侧面爬行一周回到A点的最短距离应为一条线段AA/的长。求∠A/PA的度数，可利用扇形弧长分式
求出n°的圆心角，即
，n=90°，∴∠A/P A =90°，即△A/P A为等腰三角形，利用勾股定理求得A/PA的长。即蚂蚁绕圆锥面爬行一周后走过的最短路径。
综合以上分析我们发现，最短路径问题是和现实生活密切相关的，体现了数学来源于现实生活而又服务于现实生活。充分利用 “轴对称”“ 两点之间线段最短”“ 勾股定理”等知识，使最短路径由曲变直、由折转直、在运用“三角形三边关系定理”来验证求得的路径是否为最短路径。
虽然穷其智慧列举了许多的教学策略，教会了学生解决此类问题的方式和方法；但依旧是杯水车薪；不可能究其全部。但总可以起到抛砖引玉，使其达到窥一斑而知全貌的作用，让学生在学习过程中略有心得。使知其事、明其理，用其得。从书学层面不断提升学生从文字语言到图形语言的过渡，并且从其图形语言再深入到运用符号语言解决问题，提升学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，为学生的终身学习打下良好的基础。