卢春成 、李佳继 、张涛
1.华北理工大学 数学建模实验室，河北 唐山 063009；2.华北理工大学 理学院，河北唐山 063009
摘要：为解决机场出租车和乘客的乘车效率问题，构建排队模型，合理设置“上车点”，通过多次枚举，计算等待排队平均车辆数、上车点平均逗留车辆数等指标。查找乘车效率最高的上车点数量。对传统模型进行改进，建立非强占型的优先权排队模型，将上车点分为短途乘客点和长途乘客点，可得到两种划分方案，计算追平利润差倍数，即短途载客司机若接次短途乘客，即可以获得“优先权”直接进入长途上车点接乘客。在旅客非高峰情况中，在方案1下，当出租车司机的接2次短途乘客时，即可以获得“优先权”，通过绿色车道，直接进入长途上车点接客。在方案2下当出租车司机的接3次短途乘客时，即可以获“优先权”，通过绿色车道，直接进入长途上车点接客。
关键词：机场出租车；排队模型；概率转移；
0 引言
随着社会的快速发展，机场出租车作为衔接机场交通与城市交通的重要方式，不仅影响出租车司机的经济利益，也对城市的经济发展有重要作用，因而受到广泛的关注
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排队模型
排队论是一种随机服务理论，可以对服务过程的指标进行统计分析，得出排队等待时间，排队长度，乘客等待时间和逗留时间等指标，据此可描述和评价服务过程。排队系统主要由输入过程，排队规则和服务机构三部分[1]组成，
此在研究中，只建立出租车排队系统进行问题的研究和求解。针对具体情况，给出租车排队系统的基本特征：
输入过程：排队出租车总体是无限的，排队方式是单个的，且互相独立，由于出租车到达“蓄车池”是一个随机事件，出租车在单位时间出现的次数近似符合泊松分布。
排队规则：若出租车到达排队系统时，排队的车辆数为0，直接进入“上车点”，如果队列中有其他出租车在排队等待，则在其后排队等待，为先到先服务模式。并定义队列数为单列。
服务机构：出租车会在“蓄车池”排成一队，当出租车进入“蓄车池”中的“接客区”时，通常会选择车辆数较少的“上车点”排队接客。因此，此排队系统为单队—多服务台排队系统。服务台之间相互独立。
通过以上分析，可知该排队系统为排队模型
其中表示出租车达到“上车点”的时间间隔分布，表示乘客上车所用时间的分布，表示“上车点”的数量。每个“上车点”的平均服务率均为，排队的出租数量为，因此，当时，整个排队系统的平均服务率为；当时，整个排队系统的平均服务率为。
定义出租车的平均到达率为，则该 排队系统的服务强度可表示为：
通过查阅文献[2]，依据排队论状态转移理论，首先定义为系统任意时刻状态为的概率。则可表示出状态转移率。当时，状态转移率为，当时，因为“上车点”数量为，最多有个出租车在“上车点”接客，此时状态转移率为。设稳态概率为，则状态间的转移概率可由如下公式计算：
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由上述公式，我们可以定义出租车排队系统的运行指标。在“蓄车池”中排队等待的平均车辆数（不包括正在接客的出租车）为：
“蓄车池”中的平均车辆数（包括正在接客的出租车）为：
出租车的平均等待时间（不包括接客所耗时间）：
出租车的平均逗留时间（包括接客所耗时间）：
2、模型的求解及分析
设置的“上车点”数量不同，该排队系统的指标也不同，为寻找最优的“上车点”设置数量，使总的乘车效率最高，给出可能的“上车点”设置方案对模型三进行求解。
查阅资料[3]可以分别得到在旅客高峰期和非高峰期时“蓄车池”中出租车每小时的到达数量和发车数量。将非高峰时段的每小时放行出租车的数量和到达出租车的数量代入模型三中，利用MATLAB分别计算出不同数量的“上车点”下出租车排队系统的运行指标。同样，将高峰时段的每小时放行出租车的数量和到达出租车的数量代入模型三中，利用MATLAB分别计算出此时不同数量“上车点”下出租车排队系统的运行指标
通过数据分析可以得出当上车点由2个调整到3个时，出租车排队系统的运行指标大幅下降，说明此时出租车排队系统的运作效率明显提升。当上车点由3个调整到4、5、6个时出租车排队系统的运行指标并没有太大的降低。再考虑到开放上车点的数量越多管理成本就越高并且由于出租车数量的增多车辆和乘客安全程度将会有所下降。所以非高峰时段设置3个上车点最为合适。当上车点由4个调整到5个时，出租车排队系统的运行指标大幅下降，同理可分析得非高峰时段设置5个上车点最为合适。
3、强占型优先权的排队系统
在现实生活中，处于同一排队系统的不同成员所拥有的优先权是不同的，根据优先权的不同，将排队系统中的成员划分为2类，第一类成员为高优先权成员，第二类成员为低优先权成员。优先权分为强占型优先权和非强占型优先权，本题考虑的均为非强占型优先权。针对建立的不带优先权的排队系统加以改进，通过查找数据可知长途和短途的平均收益，结合时间成本可分别计算司机长途载客和短途载客的净收益，给出可行的“优先”方案，对改进后模型进行简单描述如下：
输入过程：单排队个服务台，系统中的第一类成员相对于第二类成员具有非强占型优先权，两类成员是相互独立的，均满足参数为的泊松分布
排队规则：高优先权成员到达时有优先服务权，若低优先级成员正在服务中，且没有其他服务点，则高优先级需等待其服务完成。同一优先级按照FIFO的排队原则。服务时间服从负指数分布，均值为，到达过程与服务过程是相互独立的。
服务机构：将个上车点划分为个短途上车点和个长途上车点。
同样，服务台数为，每小时离开车辆数为μ，每小时到达车辆数为，表示优先级个数。且必须满足（）。则可得到计算平均等待时间的公式如下：
计算平均等车数量的公式如下：
4、模型的求解
在上文中，得到在旅客非高峰时段，设置3个“上车点”可是乘车效率最高。以这种情况为例，给出该情况下的“优先”安排方案。
建立的模型，将“上车点”划分为长途点和短途点，则可能的划分方案如下表所示：
表1 “上车点”的分类
长途乘客点 短途乘客点
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因此可分别计算两种方案下，长途乘客点和短途乘客点平均等待时间和， 假设9公里以下为短途旅程，9公里以上为长途旅程，通过查阅上海市虹桥机场出租车收费标准，可构建出行驶里程的载客收益函数关系由函数所得的数据，可计算长途平均收益和短途平均收益,分别为46.5元和21元。因此可构造长短途净利润差值，其表达式为：
定义追平利润差倍数，即短途载客司机在接客次后，与长途载客司机净利润的差值，恰好等于一次长途的收益。追平利润差倍数表达式为：
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根据上文中求出的数据，通过计算可得到两种方案下的追平利润差倍数，方案1的值为2.5，方案2的值为3。
5、方案的给出
通过对模型的求解，结合实际情况，可给出一个可行的“优先”安排方案。即设置一个绿色通道，该通道内的出租车不必排队，可直接通向长途乘客点载客。在本题所研究的旅客非高峰情况中，在方案1下，当出租车司机的接2次短途乘客时，即可以获得“优先权”，通过绿色车道，直接进入长途上车点接客。在方案2下当出租车司机的接3次短途乘客时，即可以获得“优先权”，通过绿色车道，直接进入长途上车点接客。对于旅客高峰情况时，该“优先”安排方案同样适用，可使出租车司机的净收益尽量均衡。
参考文献
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