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合情，还要合理

发表时间：2020/9/16 来源：《中小学教育》2020年9月1期作者：陈清

[导读]

陈清福建省宁德市寿宁县南阳中心小学
中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）09-086-01

        缘起
        这是六年级的一道题目：某盐水的含盐率是18%，如果往里面添加20克水，5克盐，这时盐水的含盐率可能是（）。
        A.18% B.19% C.20% D.25%
        乍看这道题，多数教师都会选择运用排除法来确定答案。其思路大体是这样的：原来盐水的含盐率是18%，而添加部分的含盐率是20%，两者一混合，所得盐水的含盐率在18%与20%之间，并且大于18%，小于20%。因此选择B。这，是真的吗？
        当然，我们也可以用假设的方法来解答：盐水的含盐率为18%，我们可以假设盐为18克，则盐水为100克，那么水为82克。当加入20克水，5克盐后，盐就有23克，盐水为125克，根据“含盐率=盐的质量÷盐水的质量”，那么含盐率就是18.4%。
        问题来了，18.4%介于18%和19%之间，究竟选A还是选B呢？选B的老师认为，加入的是相当于一杯含盐率为20%的盐水，而原来的盐水含盐率就是18%，现在这杯盐水肯定比原来咸，所以选B。显然，这位老师的这种理由源于加入了具体的生活情境，看起来似乎比用排除法更合情。但，这，合理吗？
        顺着这位老师的思路，我们再来看一道四年级的题目“王大伯家养了46只母鸡和32只公鸡，二月份平均每只鸡产蛋18个。一共产蛋多少个？”在评卷的过程中也出现了两种声音：一种认为是，公鸡不会下蛋，所以正确的答案是32×18＝576（个），也有一种声音认为第二个条件是“二月份平均每只鸡产蛋18个”因此应列为（46+32）×18。理由一：“平均每只鸡……”理由二：如“一个三口之家，儿子读小学甚至刚牙牙学语，家庭月收入10000元，计算他们一家的人均月收入是不是要除以3，尽管儿子还没有收入”显然，这位老师也用了具体的生活情境来支撑列（36+32）×18这个算式，这不合情吗？但，合理吗？
        思考
        我们还是继续来看第一个问题：
        一、从生活的角度看
        在酸、甜、苦、辣四种基本味觉中，人的阈值（注：指感受到某种成为物质的味觉所需要的该物质的最低浓度），常温下甜为0.1%，咸为0.05%，酸为0.0025%，苦为0.0001%。根据阈值的测定方法的不同，又可将阈值分为绝对阈值、差别阈值（是指人感觉某种物质的味觉有显著差别的刺激量的差值）和最终阈值。从以上信息我们知道，人对咸味的阈值为0.05%。很遗憾我没有办法查到人对咸味的差别阈值是多少。

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我们可不可以这样理解，既然它的阈值为0.05%，是不是也可以理解为她的差别阈值也是0.05%呢？也就是说当含盐率在0.05%之内时人是感觉不到咸味的变化的，含盐率超过0.05%时人们才会感觉盐水变咸了。如果是这样的话，18.4%与18%相差0.4%，添加后的盐水人是明显可以感觉到咸一些的，那么，选B这个答案无可厚非。
        二、从规矩的角度看
        数学是讲规矩的科学，我们在实际解题时，往往根据需要取一个近似值，而取近似值的常用方法一般有三种，即“四舍五入法”、“进一法”和“去尾法”。就这道题而言，无论用“四舍五入法”还是“去尾法”它的取值都是18%。那么，这道题有没有需要用“进一法”呢？我们先来看看在什么情况下要采用“进一法”，例如：有54千克水果，每5千克装一盒，一共需要多少个盒子？通过分析这道题，我们不难发现54千克水果装了10盒后还剩4千克，所以还要增加一个盒子，即省略尾数后要向前“进1”列式为54÷5＝10.8≈11（个）。从这道题可以看出采用“进一法”是一种需要。反观求含盐率那个问题，是不是有“进1”的需要？未必吧，因此，选A。
        三、从思想的角度看
        严格来说，数学研究的对象是一种“幻像”，而不是“实像”，也就是说，数学研究的对象是一种“理想化的存在”，因此，数学研究的问题，现实生活中是未必存在
        的，比如行程问题，现实生活中有匀速行驶存在吗？比如“班级人数与小组数成什么比例”的问题，现实生活中班级总人数就能等分成4组吗、等等。史宁中教授在《数学基本思想18讲》第16页举了个例子来阐述这个问题——“我们看到足球、看到苹果，会形成圆的概念，离开了足球和苹果，在大脑中依然有圆的概念存在。依赖这个存在，我们可以在黑板上画出圆，可以在一起讨论圆，甚至可以给出圆的定义、研究圆的性质，这是一个由感性具体上升到理性具体的思维过程。在这个意义上，我们研究的不是曾经看到的足球、苹果这样具体的圆，也不是在黑板上画出的那个圆，而是在大脑中存在了的抽象的圆……”关于这一点，善于画竹的郑板桥说得最为生动：我画的是我心中之竹，而不是我眼中之竹。
        在这里，我们看到的足球、苹果，生活中的行程情况、班级人数与小组数，以及郑板桥的眼中之竹……都属于感性具体的范畴，大脑中的圆或者画在黑板上的圆、教材中的行程问题、比例中的“班级人数与小组数”、甚而至于郑板桥的“心中之竹”都是由感性范畴抽象为理性具体的结果。而我们利用在理性具体范畴总结得出的模式、习得的方法，去解决相关的一类问题，就是从理性具体上升到理性一般的思维过程。
        基于此，那些借助感性具体的手段去解决理性具体的问题的方法显然是不合理的。
        结论
        解决数学问题应该尽可能排除非本质属性的干扰，多一些数学思想意识。
        困惑
        小学的数学问题是不是都可以离开具体的情境来解决呢？