黄玲丰
福建省长乐第一中学 350200
提要：构造法是高中化归与转化思想的重要组成部分，也是高中数学的解题方法之一，它是将未知化已知，复杂化简单的重要途径，为高中数学的函数、导数、数列、不等式等问题提供重要解题思路。在数学中应用构造法，能提升学生的逻辑思维能力，发展学生的创新能力。在新课改的教学背景下，数列的通项公式作为解决数列问题的基础与重点，也是高考中的重点考察内容之一，利用构造法发现数列模型，可以帮助学生快速找到突破口，解决难题并提高解题速度。
关键词：数列；通项公式；构造法；化归与转化思想
在高中数学课程标准中明确提出数学教育促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律。[1]构造法是具有创造性的解题方法，体现了数学中的化归与转化思想，凸显数学的内在逻辑和思想方法。构造法在高中数学中应用广泛，如构造不等式求最值、构造数列求通项公式、构造函数得到基本初等函数模型、构造几何体求外接球、构造向量求证正弦定理等，对数学学习的拓展与思维发展有积极作用。构造法主要应用于两个方面：（1）当某些数学问题无法用定向思维解决时，可以根据条件与结论的性质，从新的角度和观点观察分析条件（结论）与已有数学模型或性质的联系，通过类比、想象构造新的数学模型，进而解决问题；（2）可以用于概念、定理推导，逻辑推理。在数学中构造法解题的本质是利用已有条件与已知的定理公式，构造新的数学对象或模型，发现条件和结论中隐含的性质与数学形式，利用新的数学对象或模型解决问题。其中构造法还可以促进学生创新思维的发展，促进学生达成不同阶段的数学核心素养。构造法解题一般步骤如下：
.png)
通过对近年高考真题分析，发现数列通项公式问题灵活多变，学生难以自如应用构造法，创新解题，失分较严重。本节课通过设计数列的通项公式求解，以学生为主进行探究，发现构造法在求解数列通项公式中的积极作用，感受由难化简，由未知化已知的创造思维，提高数学洞察力和理解力，利用构造法为新的数学问题建立新的方法与策略。
一、教学片段设计
1.复习回顾：
问题1：什么是递推公式？
数列中的任一项与
.png)
，或前（后）几项间的关系式是递推公式。[2]
问题2：回顾等差数列、等比数列的定义、通项公式是什么？
生：略
问题3：如果递推公式不能得到特殊数列，该如何求解？
生：把题目条件中的递推关系通过变形，变成已知的等差或者等比数列的递推关系。
设计目的：引导学生思考如果不能用现有知识解决问题时，如何结合已有条件与结论，思考数学模型与关系，通过改变数列的递推关系，将非特殊数列转化为特殊数列来求解，进一步引出本节课的重点--构造法求通项公式，引起学生的学习兴趣。
2.新课设计
本节课我们就来学习：构造法解决数列的通项公式问题。如果题中给出的递推条件并不是我们熟知的关系，那么可以尝试利用构造法将条件变形，得到新的等差（等比）数列的递推关系，进而求解。
例1：
.png)
问题1：通过观察题目给出的递推关系，判断这是等差或等比数列吗？
问题2：发现等差或等比数列的递推关系与题目条件的区别？
问题3：如果要构造等差（或等比数列）的递推关系，递推关系要怎么变形？
（学生独立思考或分组讨论，并请同学代表发言）
.png)
设计目的：通过例题设计，发现构造法在数列问题中的积极作用，构造法可以优化解题思路，发现条件中的隐含性质，直接或间接转化为已有知识来解决问题。提高学生的自我效能感，增强学习数列的信心。
例2：对上述题进行改编，
.png)
求通项公式。
问题4：与例1的区别在哪里？如果用例1的方法构造新数列可以吗？请学生观察上面的递推关系，类比问题1的方法，思考多种构造方法。
.png)
生3：...
师生互动：以上几位同学的构造方法是否可行，有没有问题？讨论发现如果构造
.png)
，第n+1项应该表示为
.png)
。学生尝试解答，教师板演。
.png)
教师小结：若数列的递推关系形如
.png)
，将上述式子变形为
.png)
，构造新的等比数列
.png)
，进而求通项公式。
设计目的：让学生体会在利用构造法解题过程中，需要遵循相似性原则和熟悉化原则，根据已有知识的固有形式和模型，观察联想并构造出新的数学模型，需要满足既有数学知识（模型）的条件与性质。
问题5：上面的方法是构造新的等比数列的递推关系求通项公式，能不能考虑构造等差数列的递推关系？怎么变形?
学生讨论，并举手发言，谈谈思路
生：考虑把数列除以2n，得到
.png)
。
师：如果把等式两边除以
.png)
，构造的是什么数列？第n+1项和第n项怎么表示？
生：
.png)
是第n+1项，则第n项是
.png)
。
学生独立尝试构造数列，并请同学展示解题过程。
解法二：等式两边同时除以2n，可整理得
.png)
，
.png)
教师小结：在尝试利用构造法解题过程中，可以考虑将题目给出的等式两边同乘（或除以）一个数（式子），对递推关系进行变形，转化为等差（或等比）数列的递推关系，进一步构造新数列进行求解。
设计目的：（1）通过对问题2的数列通项公式进行一题多解，让学生感受构造法的妙用及灵活性，渗透数学中的化归与转化思想。（2）通过小题总结扩展学生构造数列的思路，帮助学生克服解题恐惧，提高自信与学习兴趣。
.png)
总结：通过以上3个例题，学生感受如何利用构造法，如何变形整理题中所给的数列关系，构造（等差或）等比数列，通过待定系数法列方程（组）求解新数列中的系数，求出新数列的通项公式。因此教师在教学过程中，要引导学生通过归纳类比，做到举一反三，尝试多种方法，如等式两边同时乘方，开方，取对数，取倒数等。
二、 教后反思
1.关于新课设计的几个环节
在《普通高中课程标准》中明确指出：探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律；能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并解决相应的问题。构造法做为高中数学的重要解题方法，具有试探性、创造性、能行性的特点。[3]本节课先复习回顾数列的基础知识，接下来例举3个递推关系，通过设问，引导学生通过观察，发现已有知识无法解决问题，再进一步与特殊数列的递推关系进行对比，构造新的特殊数列进行求解。在例题后进行小结，帮助学生强化构造法在数列题型中的应用类型，引导学生善于观察条件形式，在解题时重视构造法的巧用，鼓励学生进行创造性思维解题。
2.注意构造法思路引导
在教学过程中，发现部分学生对构造法求解数列问题的思路理解，但要构造出适当的特殊数列较困难，需要对已有的数学模型有深刻理解，发现题目条件的形式与结构的相似点。构造法要求学生熟练掌握已有数学知识的形式与规律，通过审题，重组条件形式，找到相对应的数学模型解决解决。教师在构造法教学过程中，可以从基本的例题出发，多设问答，讲授解题思路与策略，帮助学生大胆思考，积极创新，深刻领会构造法对解题的重要作用。
3.提高学生计算与构造能力
利用构造法解题过程中，对学生的计算能力提出较高要求，例如在取倒数时，要求学生熟练计算分式。在构造对数式时，要求学生对对数运算性质熟练掌握。因此，日常教学中重视知识回顾，利用课本、例题、课后训练进行旧知识复习和应用，温故知新，内化知识，对定理、概念、公式的形成知识网络。包括在不等式、函数等专题教学中，可以进行知识迁移，举一反三，转换思考模式，反复渗透化归与转化思想，对构造法解题进行系统性训练，并进行知识总结与归纳。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版2020修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.
[2]人民教育出版社课程教材研究所，全日制普通高级中学教科书·高中数学必修5[M].北京：人民教育出版社，2006：28-32
[3]刘华良，数学构造思想方法的探索与实践[D].华中师范大学，2004