吴燕 李武
云南省昆明市安宁市教育局 650300
摘要：在高中数学课程中空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。在教学过程中我们根据向量的内积求得
平面的一个法向量，半平面的两个法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补。
但是学生们往往仅凭观察图形有时很难判断这个二面角是锐角还是钝角。下面尝试用向量的外积来解决这一问题。
关键词：向量外积；立体几何；应用
一、向量的外积
1、向量外积的定义
两个向量
.png)
与
.png)
的外积仍是一个向量，记作
.png)
。
大小：
.png)
方向：
.png)
与
.png)
、
.png)
均垂直，且使（
.png)
、
.png)
、
.png)
）成右手系（右手的四指
沿平面上
.png)
到
.png)
小于
.png)
的旋转方向弯曲，拇指所指的方向即是
.png)
的方向）。
2、向量外积的坐标运算
.png)
3、若
.png)
、
.png)
是平面
.png)
内不共线度两个向量，则平面
.png)
的一个法向量
.png)
.
这样，我们不仅能求平面一个法向量的坐标，还能根据右手系判断其方向。
二、利用方向向量和法向量解决立体几何中图形的位置关系与度量问题
1、平行与垂直问题
设不同直线
.png)
的方向向量分别为
.png)
、
.png)
，不同平面
.png)
的法向量
分别为
.png)
。则：
.png)
2、空间角与空间距离问题
（1）两条异面直线所成的角
设直线
.png)
的方向向量分别为
.png)
，异面直线
.png)
所成的
角为
.png)
，则有
.png)
。
（2）直线与平面所成的角
设直线
.png)
的方向向量分别为
.png)
，平面的法向量为
.png)
，直线与平面所成的
角为
.png)
，则有
.png)
。
（3）二面角的平面角
设
.png)
分别是二面角
.png)
的两个面
.png)
的法向量，则向量
.png)
的夹角（或其补角）的大小就是二面角平面角的大小。
（4）点到平面的距离
已知AB为平面
.png)
的一条斜线段，
.png)
为平面
.png)
的法向量，则点B到
平面的距离为
.png)
。
三、例题
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
.png)
.png)
.png)
参考文献：
[1] 人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修2[M].北京:人民教育出版社,2004.
[2] 杨小微.教育研究方法[M].北京:人民教育出版社,2005:205,79，103，205.
作者简介：
吴燕（1985-），女，云南昭通人，硕士研究生，中学一级教师，从事中学数学教学与研究。
李武（1985-），男，云南文山人，中学一级教师，从事中学数学教学与研究。