汲长艳
（浙江省嘉兴市东北师范大学南湖实验学校，浙江 嘉兴 314000）
摘要：随着课程改革的推进，看似高效的数学课堂背后，其实存在着一种现象：不是不知道，而是想不到。究其原因，很多时候都是老师或其他同学的过早提示，让学生在思维卡点时，借助别人的帮助顺利度过，但是没有帮助时，自己就无从下手。因此，我们要更加精准地了解学生的思维起点，分层指导，在遇到思维困难点时不要急于点破，引导学生持续在思考、能够深思考、自主会思考，让数学学习更真实地发生。
关键词：思维卡点 学会思考 真实学习
随着课程改革的大力推进，我们经常会看到这样的课堂现状：任课老师精心设计，全程以学生为主体，注重引导学生思考，当学生遇到解题困难时，教师或及时点播，或优生分享，其他学生恍然大悟、茅塞顿开，接下来全班积极思考、交流分享、动脑动手，成功把问题解决，整个过程流畅自然，学生学得明白，课堂高效。
这样的课堂现状已经不仅仅存在于所谓的展示课中，很多老师已经在自己的常规课中实践，这值得肯定与欣喜；但是，我们也经常会发现：等让学生自己独立解题时，还是不会。我们也时常发出抱怨：这种题都讲了多少遍了，你怎么还是不会？不会，有各种各样的原因，但其中有一个很重要的原因是：不是不知道，而是想不到。课堂中，经过老师或其他学生提示，就像给他搭建了一个梯子，爬上去就很简单了，表面看，学生也懂了、会了；但当没有人帮忙搬梯子，他就不知道去哪里找这把梯子，就算知识点掌握的很好，依然不能主动正确的应用。
这把“梯子”就是思维的卡点，思维存在困难或障碍的地方。我们不仅要关注“我是这样想的”，也要关注“我为什么要这样想”。
一、了解学情、分层促思，把握思维起点，让学生持续在思考
《义务教育数学课程标准》指出，数学教学活动必须建立在学生的认知水平和已有的知识经验基础上。课前通过观察、调查、交流等方式对学生的情况有一个整体了解，才能更好地把握学生思维的起点，有层次、有目的地激发学生疑问，促进不同层次的学生进行基于思维起点的持续思考，更加精准地实施教学。
笔者在任教研题导学案例《穿孔问题》一课时，课前对学生进行了原题的测试，整理出学生做题结果，对部分学生进行理由追问，积累了学生对于这类题目原始经验的第一手的资料，为后续分层指导做好准备。
1.暴露思维起点
（1）原题呈现
玲玲在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料片和一个中间有空心圆孔的长方形塑料片。她测量了有关数据如下图所示（单位：cm）。玲玲想把直角三角形塑料片从长方形塑料片的空心圆孔穿过去。你认为能穿过去吗？请通过计算说明理由。
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（2）调查结果
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2.分层进行引导
明确了学生的思维起点，接下来对于错误的同学就要根据不同的起点使用不同的引导方法，在其思维层次水平上借助实物、问题等，引发学生的持续思考。
层次一：打破“思维直觉”，扶着思考
这部分学生拿到这道题，凭感觉直接想到“不是比周长就是比面积，三角形周长（面积）比的圆周长（面积）大，就不能穿过去，比圆的周长（面积）小，肯定就可以”。这种思维多半是只能将图形置于平面状态中，也就是只能想象到两个图形平行叠放，无论是比周长还是比面积，其实都是将“能不能穿过去的问题”归结为两个图形大小的比较。
引导案例：教师PPT出示两种计算方法。
师：我们先来看出现最多的两种解题思路。你看懂他们怎么做的了吗？
生：在比较图形的周长、面积。
此时操作：师在学生回答计算周长后，用手比划一下两个图形的周长;学生回答面积之后，找学生指一下两个图形的面积，到前面来穿一下看.
预设两种结果：第一种，学生两个图形贴在一起，穿不过。教师反馈，看来这样的思路不行。第二种，学生把三角形插进去，教师及时叫停，追问，他这样是在比较面积吗？引出，他这样是在比较线段的长短。
小结：很多同学觉得能不能穿过去就是比较两个图形的大小，又因为刚刚学过圆的周长和面积，所以觉得不是算周长就是算面积，但通过刚才的讨论我们知道类似这样的穿孔问题，比较周长和面积是不能解决问题的。
在这一个指导环节中，教师扶得很牢，从问题追问到实物演示，都是为这部分同学铺设一个思考的环境，让他们能够打破“思维直觉”，在持续的思考中一步步接近正确的解题思路。
层次二：继续“顺势思维”，放手思考
这部分同学已经能够思考到“能不能穿过”要看一侧边可不可通过，已经从单纯的平面思维提升到立体思维。这时候，教师只需要做旁观者，放手让学生去思考。
引导案例：师：还有一些同学是这样做的，你能看懂他是在比较什么吗？
生：比较三角形的边长和圆的直径。
师：他们打算怎么穿？（找生到前面演示一下，定格）。
引导学生回答：他们其实是在比较线段的长短（板书：线段的长短）
（给予肯定）这些同学思路是对的，先考虑到三角形的边与直径的长短关系，
但是发现这样是穿不过去的，那么是不是三条边都比直径长，就一定穿不过去呢？有没有其他路径呢？ 请你想一想（给几秒钟时间思考），四人小组可以一起讨论一下，共同解决这个问题。
在这一环节中，教师首先对这部分学生的思维角度进行了肯定，然后通过抛出一个反问的问题，激发学生顺着原有的思路继续思考。此刻，教师完全放手，让学生自主探究，进行深度思考。
层次三：鼓励“精准思维”，自主思考
这部分同学思路明确，知道只要能在直角三角形中“找出一条比最短边还短的线段，也就是直角三角形的最短高”，就可以穿过去。但是在应用“已知三角形面积，求三角形高”的知识点时，出现错误，导致最后结果出错。
这部分同学，教师只要肯定其做题思路，点出问题所在，让他们自主进行所学知识的回顾、纠错、完善即可。
将学生进行分层，能更好地把握学生的思维起点，以生定导，借助不同的教学方法或策略，引导学生基于自己的原有思维水平持续思考、逐级思考、真正思考，而不是跳跃式思考、断层式思考、表面式思考。在进行某一层次重点指导时，其他层次可以布置不同的思考或操作任务。
二、明晰本质、逐层深入，突破思维卡点，让学生能够深思考
思维分层、分层指导，是保持学生能够持续渐进思考的重要途径，学生在分层指导中能够体会和感悟到“我要这样想”，但是还是缺少了“为什么可以这么想”的体验，这也是后续能够养成独立思考、独立解题的关键之道。
解决这道“穿孔问题”的关键在于明确能不能穿过去取决于“三角形上最短的一条线段和圆的直径相比的结果”。这是这道题的思维卡点，也是学生思维的困难点，大部分学生很难一下子一步到位想到这个关键点。
笔者在第一次试教时，在出示学生第一种层次的解题方法时，直接借助实物，让学生操作，多次尝试，三角形可以穿过，想由此引发计算和实际操作的矛盾，但其实，这样做完全阻止了学生的深入思考，学生看到实物演示结果后，已经停止了思考，后续操作完全就是在走流程。这也就告诉我们在辅导学生时，不要着急把现成的“梯子”搬给学生，而是要引导他们自己去寻找这把梯子，能够看到问题本质，逐层深入思考。
1.理解“我是这样想的”， 明晰本质
通过层层深入，从“比大小”到“比长短”，在不断思考中，逐渐接近问题的本质。对于前两个层次的同学来说，必定要经历完整的自主思考的过程，才能真正意义上理解这个问题的本质。
2.明白“我为什么要这样想”，深度思考
正如笔者开头所讲，如果课堂中，每一次的思考节点，老师都是急于出手，直接点破，久而久之，学生就会懒于思考、不会思考，只是会将别人思考的结果去验证或应用，这种结果肯定不是我们想看到的。
日常课堂中，笔者经常会抛出类似这样的问题，“一定可以吗？”、“一定不可以吗？”“生活中有这种现象吗？”等，促使学生继续深入自主思考。
比如，这节课中，前面试教时，教师这样过渡：
这些同学思路是对的，先考虑到三角形的边与直径的长短关系，但是发现这样是穿不过去的，那么是不是三条边都比直径长，就一定穿不过去呢？有没有其他路径呢？在这个三角形里，我们能不能找出一条比三条边更短的线段呢？
这样的引导，可以帮助学生快速找到思维卡点，只要寻找出比三条边更短的线段即可，看似问题解决的顺利，但反思一下，我们会发现老师的直接点出，阻碍了学生的主动思考。后来经过调整，将最后一个问题删掉，让学生自主思考、小组讨论，在前面已有思维的基础上，老师肯定方向的正确性并激励学生继续思考，自主突破思维卡点。
又或者，我们在请思维层次高的学生分享思路时，除了分享“我是这样想的”，也要跟大家分享“我为什么要这么想、我是怎么找到这个解题关键点的”等，让思维层次弱的同学不仅学习“是什么”，也逐渐理解“为什么”。
三、方法梳理、迁移应用，形成思维习惯，让学生真正会思考
一节课、一次指导，可以让学生体验完整的思考过程，但是并不能帮助学生养成良好地思维习惯，这需要在日常数学学习中不断梳理、强化。教师可以设计一系列同类或拓展的、逐步深化的问题，让学生在解题过程中，必须经历理解题意、收集信息、分析整合、抽象推理等一系列复杂的思维过程，自主尝试跨越思维卡点，养成良好地思维习惯，真正地做到能思考、会思考。
1.同类迁移
练习题：下面有长方形、平行四边形、梯形，并标有数据。
（1）这几个图形能穿过这个圆孔吗？说说你的想法。
（2）想让三个图形都能穿过圆孔，圆孔的直径不能小于多少？
（3）如果把圆孔变成正方形，你需要考虑哪些因素？
2.拓展迁移
练习题（摘自沈强老师研题导学讲座）：有一块长方形铁皮，长48厘米，宽24厘米。将它制作成一个高6厘米的无盖长方体盒子，并使它的容积尽可能大。（切割和焊接的损耗忽略不计）
（1）用画示意图、写文字等方式表示出
你的制作方法。
（2）计算制成无盖长方体盒子的容积。
（3）解答后，你还能提出新的问题吗？请写出一个。（不必解答）
最后，我们关注学生思维，有意识地引导学生在思考、深思考、会思考，但也要注重监督学生思考的质量，可以利用课堂观察、个别访谈、量表调查等多种形式，对学生的思考质量进行评价、监督和改进。
总之，在数学学习过程中，我们要帮助学生会使用“梯子”，更要让学生学会自己找“梯子”，我们要更加精准地了解学生的思维起点，分层指导，在遇到思维困难点时不要急于点破，引导学生持续在思考、能够深思考、自主会思考，让思考更真实地贯穿数学学习的整个过程，让数学学习更加真实地发生。
参考文献：
[1]梁淑媛，孟宜安.关注思维起点，让学习真实发生[J].数学学习与研究，2019(19):35-36.
[2]陈晓芳.基于学生的真实坐标，让数学学习深度发生[J].教育实践与研究，2020(13):51-52.
[3]陈春芳.关注学生认知起点，把握数学理解层次 [J].基础教育课程，2018(9):36-40.