张友东
江省常州市武进区礼嘉中学
摘 要：如今高中导数已经列入课本当中，导数是高中数学中的重要内容，是基础性的概念之一，是为高中阶段研究函数相关性质所提出的有较大辅助作用的一种运算方式。以导数在函数、切线及不等式中的应用为实例，并帮助学生解决复杂的恒等式、不等式、根的存在性、应用题和几何数学难题等，具体探究了导数在高中数学解题中的运用。
关键词：导数；高中数学；解题；运用
近年来，导数在高考中的地位越来越突出，各地的模拟考试都把导数作为考点，这些试题也从不同的角度考查了学生对导数的认识和学生对导数综合运用的能力，在导数和方程组、不等式、数列、函数等方面进行交汇命题，从而考查学生综合解决问题的能力。因此，导数成为近年来考查的热点，在复习时一定要加强对导数的运用和运用导数解决数学问题的意识。
一、导数在函数中的运用
导数在函数中运用是非常普遍的，利用导数可以解决函数的极大值与极小值，可以画出一个函数的图象的草图，可以知道一个函数的单调区间.而这些问题往往式教学的重点，也是学生必须掌握的最基础的知识，也是历年高考的重点，因此学生抓住这部分的重点还是非常有必要的.这就要求学生平时要多做多练用导数解决的这类题目，在多做多练中提高做题的效率，掌握做题的方法与技巧，争取遇到这类题可以手到擒来.
例1 求函数f(x)=6x2+8x+4的单调区间和最小值.这道题很明显是求函数的极值和单调区间问题.可以利用导数来解决，过程如下.
解?∵f?′(x)=12x+8,
∴令f?′(x)=12x+8=0,则?x=-2/3.
当x-2/3时，f?′(x);0,则f(x)在(-2/3,+∞)上单调递增；
当x-2/3时，f?′(x)0,则f(x)在(-∞,-2/3)上单调递减；
当x=-2/3时，f(x)取得最小值f(-2/3)=3/4.
综上所述，这道题就解出来了，可以看出，利用导数求解这类问题简单而又方便.如果利用数形结合的方法求解这类问题，这类问题是可以得到解决，但是过程繁琐，不能很好地确定它的单调性时不能准确地画出它的草图，因此不能较容易简单地解决这类问题.但是利用导数后，按照导数解决函数问题的一般步骤，可以让学生对这类题目有了明确的解题步骤，因而这类题按照导数求解问题的一般步骤：1.求出函数的导数；2.令求出的导数等于零；3.由导数等于零确定函数的可疑极值点；4.根据极值点将函数的定义域进行划分；5.确定函数的导数在定义域内的正负，从而判断函数的单调性；6.根据函数的单调性画出函数的草图，根据草图得出函数的准确极值.这类问题就被轻而易举地解决了，看似步骤挺多，但当你求出函数的导数和定义域时，所有问题就会迎刃而解了.
二、导数在不等式中的运用
不等式问题也是一类常考的题型，包括不等式的证明与不等式的求解，处理这些问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题.这类问题的解决，需要积累一定的经验，因为有时候更多的是需要构造出一个函数，从而才能引入导数这个方法，借助函数的一些性质，求出极值，从而使不等式问题得到解决.
例2 已知函数f(x)=x2+lnx，求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
分析?函数f(x)的图象在函数g(x)的下方?不等式f(x)g(x)的问题，即x2+lnxx3成立，只需证明在区间(1,+∞)上，恒有x2+lnxx3成立.设F(x)=g(x)-f(x),x∈(1,+∞),考虑到F(1)=0,要证明不等式转变为：当x1时，F(x)F(1),这只要证明：g(x)在区间(1,+∞)是增函数即可.
证明 设F(x)=g(x)-f(x)，即F(x)=x3-x2-lnx
因为F′(x)=2x2-x-=，x∈(1,+∞)，
所以F′(x)=2x2-x-= 0恒成立,
所以函数F(x)在(1,+∞)上单调递增，即F(x)F(1)=0,从而有f(x)g(x).
所以函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的下方
这道题其实是不等式的证明题，巧妙地构造了函数F(x)，随后发现成了函数的基本问题，从而利用导数对函数问题进行了解答，从而使很棘手的不等式证明题变得简单易懂.显而易见，在解决不等式的问题时，函数的构造对解题来说是最重要的一步，而这一步对大多数学生而言，也是存在很大困难的一步.想到这步的最好的办法还是要多做不等式的题，总结一定的构造函数的经验.
三、利用导数解决一些切线问题
导数的几何意义是在该点处切线的斜率，这个问题有时候也是学生最容易忽略的问题.利用导数的几何意义，可以方便快捷地求解一些函数曲线上点的切线问题.
例3?y=-lnx+3,求其在点A(e,2)处和过点B(e,2-)的切线方程.
分析?将A和B点分别代入y=-lnx+3,发现点A在曲线上，点B不在曲线上；求解这类问题时，我们知道在曲线上的点的斜率就是曲线在该点处的导数，不在曲线上的点，需要我们设出切点，进而进行求解.
解?y′=-,x∈(0,+∞)，对点A在曲线上，
k=y′(e)=-.所以y-2=-(x-e),即ey+x=0.
对于B点，设切点为(x0,y0)，则k=y′(x0)=-.
y-y0=-(x-x0),将B点坐标代入上式中得，2--y0=-(e-x0).
又因为y0=-lnx0+3，解得x0=e2.
从而e2y+x-2e=0.
这道题的求解关键是要将A和B两点坐标代入，确定它们是否是曲线上的点，然后分别对是否在曲线上采取不同的方法进行求解.好多学生会不管是否在曲线上，直接代入导数求解切点的切线，对是否是切点没有进行判断.如果提前进行判断，对切点和非切点的点分别引入该曲线的导数，利用其具有的几何意义对其进行求解，是目前高中数学中最高效、最便捷、最容易理解的唯一方法.这类题经常会考两种类型，题目多为选择和填空题，难度不大，属于送分题，借助于导数的知识进行求解会达到事半功倍的效果.
导数在高中数学解题中的引用非常广泛，在高中数学中也是相当难的一部分内容，但是它相对而言，比较容易理解，难点在于学生们想不到利用导数去解决有些问题.所以更多的还是需要培养学生利用导数解决数学问题的能力，而不至于走很多弯路，在考试的过程中浪费很多时间.这就需要学生平时多积累题型，多跟着教师的思路走，自己在做题时，多培养自己在这方面的思维能力.
参考文献：
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