茅台学院公共基础教学部 李正波 刘琼
摘要:本文以高等数学中定积分概念为例，研究基于HPM视角的高等数学教学实践。 基于HPM视角，先介绍与积分思想、积分学相关的数学史，通过对教材内容进行再创造，引导学生“生产”定积分思想与定义。通过学习，学生可以了解积分思想产生、发展和成熟的过程，体会发现问题并应用已有知识解决问题的思维，加深对定积分概念的理解。
关键词:数学史；HPM; 定积分；曲边梯形
1.积分思想、积分学的历史背景[1][2][3]
积分学源于面积、弧长和立体体积等几何问题，以及变速运动物体路程的物理学问题。
约公元前460~公元前370年，以古希腊哲学家德谟克利特为代表的“原子论”学派,用原子论的观点解释数学，认为线段、平面和立体都是由不可再分的原子构成的。因此,计算线段的长度、平面的面积、立体的体积都是将这些“原子”累加起来。这种推理方法带有古朴的积分思想。
约公元前430年，安提丰在解决“化圆为方”的问题时，提出了一种方法(穷竭法)：先作某圆的内接正4边形形，然后将边数加倍得内接正8边形……，依此类推，最后得到的正多边形穷竭该圆。因为他认为可以作出与上述过程最终得到的正多边形面积相等的正多边形，因此得出了可以化圆为方的结论。
公元前287~公元前212年，古希腊数学家、物理学家阿基米德将穷竭法与原子论观点相结合，求出了抛物线弓形的面积。虽然当时还没有极限的概念，但这种求面积的方法是定积分思想的萌芽。
开普勒在他1615年出版的《测量酒桶的新立体几何》中，认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的，用某种特定的方法将这些小图形的面积或体积相加，便可得到所求的面积或体积。开普勒是第一个在求积问题中运用无穷小方法的数学家。
1690年, 伯努利首次使用了“积分”一词，并于1696年，与莱布尼茨确定用“积分学”一词代替莱布尼茨原来使用的“求和计算”。
2.定积分概念引例
2.1 曲边梯形的面积
图1为曲边梯形，由连续曲线y=f(x)、x轴，以及直线x=a、x=b围成，如何求其面积A呢？
一般地，规则图形有相应的面积公式，比如图2所示矩形，设其底为a，高为h，则其面积S=ah. 而对于图1曲边梯形这类不规则图形，没有现成的面积公式，怎么求其面积呢？若能从曲边梯形“变出”矩形，便可代矩形的面积公式。如何变？变出的矩形面积是否就是曲边梯形面积？这是重点。
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对比图1与图2中的曲边梯形与矩形可知，要从曲边梯形“变出”矩形，底是现成的（图1中线段 ）。因为矩形的高是固定不变的常量，而曲边梯形的高y=f(x)是变动的变量，而在求出曲边梯形的面积之前，并不知矩形的高选多少才能得到曲边梯形面积的精确值，所以任意选取 在 上的某个函数值作为矩形的高。这样便从曲边梯形变出了矩形，不妨将该过程称为“整体取近似”。
显然，由整体取近似得到的矩形面积与所选取的高有关，不一定等于原曲边梯形面积。但是，并不代表刚才做的尝试没有意义。因为找到了问题的突破口，不一定能得到曲边梯形的精确值，但得到了近似值。受“整体取近似”的启发，转变思考角度。先将曲边梯形进行“局部取近似”，然后再“极限求精确”，可总结为如下四个步骤：
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2.2 变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动,速度 是 上时间 的连续函数,且 ,如何求该物体在 时间段内的路程？
因为匀速直线运动有求路程的公式：路程=速度×时间，所以通过局部取近似，可得物体在 中每一小段时间内路程的近似值，再通过极限求精确便得到该物体在 时间段内的路程。类似求曲边梯形面积的四个步骤（分割、近似、求和、取极限），可得物体在 做变速直线运动所经过的路程为
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注：解决上述实际问题时，都是将复杂陌生的问题转化成简单问题后解决的。这是解决实际问题的常用思路和方法，也是学术研究的常用思路和方法，需要认真体会。
抛开上述问题的具体意义，可发现它们有如下共性：
(1)解决问题的方法都是：分割、近似、求和、取极限；
(2)最后所得极限的结构式都是：特殊和式的极限。
概括数量关系上共同的本质与特性，可抽象出定积分的定义。
3.定积分定义[4]
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4.结语
任何知识都不是从天而降的，都有其自然发生、发展的历史[5]。参照知识点发生发展的历史，对教材内容进行再创造后教授给学生，有助于学生对知识点的理解和掌握、提高学生的学习兴趣。
参考文献
[1][英]斯科特（著）；候德润，张兰(译). 数学史．北京：中国人民大学出版社，2010．
[2]李文林．数学史概论[M],北京:高等教育出版社，2011．
[3]爱德华．微积分发展史[M]．张鸿林译. 北京:北京出版社，1987．
[4]同济大学数学系．高等数学[M]．北京:高等教育出版社，2007．
[5]汪晓勤. HPM视角下的“角平分线“教学[J].教育研究与评论(中学教育教学)，2014(5):29-32.