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拨浮云迷雾，寻定海神针

发表时间：2020/9/27 来源：《教学与研究》2020年9月上作者：程军平

[导读] 指向数学核心素养发展的教学，应该要摒弃单纯的套路式一讲到底的教学模式，不止传授知识的结果，更要将知识的产生和形成及知识间的内在联系嵌入教学活动的过程中。

浙江省杭州市富阳区实验中学程军平

【摘要】指向数学核心素养发展的教学，应该要摒弃单纯的套路式一讲到底的教学模式，不止传授知识的结果，更要将知识的产生和形成及知识间的内在联系嵌入教学活动的过程中。在合作探究的活动中提出问题，发现问题后，由师生共同来探求解决问题的方法，进而探求知识的本质，在不断地探究解决方法和数学本质中使得学生的数学核心素养得以提升。
【关键词】师生合作探究   学习小组不动量数学核心素养
       【正文】
       一、探究的源起
       当下高中数学教育教学的中心任务就是提升学生的数学核心素养，那么平时教学就应本着揭示数学问题本质，向着提升学生核心素养的方向努力。笔者在讲解一道立体几何动态问题时，用不动量的办法使问题得到突破，课后与学生进行了交流，随着学生的追问交流，师生共同对问题尝试进行了深入的探究。
      题目呈现（2012高考浙江）.已知矩形ABCD，AB=1，BC= 。将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。（    ）
        A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.
        B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.
        C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.
        D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
        简解：以BD为轴旋转三角形ABD，形成以AB,AD为母线的两个圆锥，探求旋转过程中母线夹角的范围使问题得以解决，其中旋转轴BD为不动量，也是解决此类问题的突破点。
课后交流实录：
        生：本题是一道立体几何翻折类问题，我们知道三角形绕一边旋转是一个圆锥或两个圆锥，轴不动母线在动，是不是所有翻折类问题都可以思考不动量呢？
        师：对于立体几何翻折类问题思考不动量的确是一个突破方向，就好比浮云迷雾中找到一根定海神针，动态问题都可以回到定态问题中。
        看到学生对于此类问题的本质不是十分清楚，于是笔者建议学生不妨找几题立体几何动态问题研究研究看，是否可行，在教师的引导和鼓励下学生于是开始了第一次探究，针对立体几何中的动态问题进行收集、分组分类的进行整理、进而分析问题的解法。
        动态问题1. （2015浙江理）如图，已知△ABC，D是AB中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A’CD,所成二面角A’-CD-B的平面角为α，则（   ）
        A. ∠A’DB≤α    B.∠A’DB≥α   C.∠A’CB≤α   D.∠A’CB≥α
        动态问题2. （2015浙江文）如图，斜线段AB与平面所成的角为60o，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30o，，则点P的轨迹是（   ）
        A．直线        B．抛物线     C．椭圆        D．双曲线的一支
        同学们寻找到的这两题都可以找到它们的几何背景圆锥，通过进一步的探究同学们惊讶地发现，浙江省考过的高考试题和模拟试题居然绝大多数都可以找到不动量，也可以通过不动量作为突破口。同学间的合作交流引发了同学们的互动，在相互帮助在逐步发现自己平时没有发现的疑难问题，在解决问题的过程中更好的提升了自己的解题能力，这是笔者发起这次探究前万万没有想到。让笔者更加没想到的还在后面。
        二、探究的深入
        就在笔者以为可以收尾时，一个爱思考的同学又提出了一个让笔者为之一惊的一个问题。
        学生：寻找不动量的方法是否可以用其他方面的问题，比如说函数，解析几何，向量……
        师陷入沉思，既然立体几何有不动量可以作为突破方向，那么函数中的不动量是什么，数列中的不动量是什么，解析几何中的不动量又是什么？这种思维跳跃不就是数学数学核心素养的培养方向吗？去探求数学问题的本质与内在联系。爱德华曾说过，“数学的本质是对表面上看来完全不同的概念认识其内在的逻辑关系！”于是笔者引导学生组成探究小组，利用课余时间对高中数学所学的各个模块进行了一番更加深入的探究与梳理。
        下列为分组探究摘要：
        1.函数模块小组收集成果：指、对数函数中的定点类问题，本质指向指、对数函数存在定点；一次、二次函数，双勾、斜构函数单调性与对称问题，本质指向初等函数对称点，对称轴等视为不动量；函数图象与性质，不动量为函数奇偶性中对称中心与对称轴
        代表题目 1.（2019浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y = ，y=loga(x+ )(a>0，且a≠1)的图象可能是（）
         代表题目 2.（2018浙江）函数y= sin2x的图象可能是（   ）
        A． B． C． D．
        代表题目3. 当x 时，不等式恒成立则实数a的取值范围为_______
        略解（1）当a>1显然不成立      （2）当0<a<1时过定点（1,0）
        考察方向：根据指、对数函数图象运用数形结合的方法解决问题
        评析：函数是高中数学最为重要的内容，是最核心的知识，也是学生眼中最熟悉的“陌生人”。函数小组的同学在收集整理函数问题的过程遇到了“几乎所有的高中数学问题皆是函数的”的尴尬问题，同时也意识到许多问题的本质就是函数，解决方法也离不开函数。教师引导学生先从初等函数、函数的图象与性质入手，寻找不动量这一“定海神针”。

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        2.三角函数与解三角形模块小组收集成果：
        考察任意角三角函数的定义的题目，单位圆为不动量；三角函数图象与性质，对称中心与对称轴为不动量
        代表题目（2019浙江高考）设函数 .已知函数是偶函数，求的值（部分）
        评析：利于对称轴为y轴，偶函数
        3.数列模块组收集探究成果：
        数列中不动点问题，背景指向函数中的不动点问题，
        数列与不等式问题，上下界视为不动点，背景指向数列极限收敛。
        代表题目1. （2019浙江高考）设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，b ，则
        A．当b= 时，a10>10         B．当b= 时，a10>10
        C．当b=–2时，a10>10        D．当b=–4时，a10>10
        略解：排除法B项，令x2-x- =0,得x= ,取a1= ,a2= ,…,,an= <10,
        当b= 时，a10<10，所以B错误
        C项，令x2-x-2=0，x=2或x=-1,取a1=2，则a2=2,…,,an=2<10
        当b=-2时，a10<10 ，所以C错误
        D项，令x2-x-4=0，x= ，取a1= ，a2= ,…,,an= <10
       代表题目2.（2018浙江高考）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．
        证明：当时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1? xn≤ ；（Ⅲ） ≤xn≤ ．
        评析：原本找不到不动量的数列小组看到其他小组的成果憋足了劲一定要给他们“好看”，结果数列小组的探究最出乎大家的意料。不仅挖出了今年高考数列小题的不动点背景，更是列出来很多与函数结合的不等式背景。
        4.立体几何模块小组收集探究成果：立体几何动态类问题，动态过程中垂直与平行为不变量；旋转过程中轴为不动量，本质指向旋转体交面问题
        代表题目1 （2019高考浙江）设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则
        A．β<γ，α<γ  B．β<α，β<γ    C．β<α，γ<α D．α<β，γ<β
        代表题目2（2018高考浙江）已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则
        A. θ1≤θ2≤θ3    B. θ3≤θ2≤θ1    C. θ1≤θ3≤θ2    D. θ2≤θ3≤θ1
        代表题目3.（2017高考浙江）如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，
，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面
角为α，β，γ，则（   ）
        A．γ<α<β   B．α<γ<β    C．α<β<γ   D．β<γ<α
        教师评析：作为本次探究问题的发起组，立体几何小组做了大量的收集、整理、协调工作。在对浙江省立体几何高考试题的彻底梳理后，小组不仅找到了大量的不动量，弄清立体几何动态问题的考察方向，甚至从近三年的高考题中找到了解决空间三角的方法，尽量将立体几何问题向平面问题转化，尽量将动态问题向静态问题转化，尽量将未知问题向已知问题转化。
        4.圆锥曲线模块小组收集探究成果：不动量为不动点
        代表题目1 。一动圆与圆O1：（x+3）2+y2=4外切，同时与圆O2：（x-3）2+y2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程。
        代表题目2。点P是椭圆上一动点，点A与点B分别在圆O1：（x+3）2+y2=1，与O2：（x-3）2+y2=1上，求的最小值
        教师评析: 这类问题是圆锥曲线问题中比较有代表性的“追根溯源”的问题，解决方法紧扣椭圆定义中的定值，在双曲线，抛物线中也是常用的手段方法，将无从下手动态问题进入比较简单定态定量问题中区，难题迎刃而解。
        随着研究的深入，学生学习数学的热情高涨，每个学生都能积极参与到收集探究中来，尽管学生寻找的不动量有一些牵强，但是寻找到的不动量大部分已经可以直击本质，按照知识模块分配的小组已经无法满足探究的需要，小组间交流合作打破了知识模块的壁垒，逐步建立起了知识内部之间的联系。有些同学甚至进行了跨学科的探究，如物理中的能量守恒定律、动量守恒定律，化学中在化学反应中有各种各样的守恒,如质量守恒、元素守恒、原子守恒、电子守恒、电荷守恒、化合价守恒、能量守恒、物料守恒等等。小组间的合作交流，数学知识信息的提取，学科之间、多个角度审视，学生对数学知识背景本质的探寻，思维层次的提升在随着探究的深入数学核心素养基本特点也逐步体现出来。根据布鲁姆认知目标的6个层次“知道-领会-应用-分析-综合-评价”可知：学生的研究已经属于分析、综合与评价阶段，属于高价思维层次，学生的数学综合素养得到了极大的提升。
        三、收集探究活动反思
        指向核心素养发展的教学，应该要摒弃单纯的套路式，一讲到底式教学格式，不止传授知识的结果，更要将知识产生和形成及联系嵌入教学活动的过程中，过程与结果相互融合、探究与研讨相得益彰。教师从“知识的传授者”转变为“学习的引导者”。在完成任务的过程中，教师们将自己放到与学生们同样的层次上，在提出问题，发现问题后之后，由学生来使探求解决问题的方法，与知识的本质。在合作探究的活动中，他们的状态是舒展的，他们的思维是活跃的，在这样的过程中学生们的创意和想法，有很多是教师们也不曾想到的。课堂到底是学生的课堂，主角还得是学生自己，老师充其量不过是这个舞台的导演，要相信我们的学生，给他们创造思考的环境，让他们去发现,去积累，去收获，老师可以为他们锦上添花，必要时可以雪中送炭，那么我们的学生身上就会开出数学核心素养的绚丽之花！
参考文献《浙江高考数学试题全解全分析》