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一道关于角平分线的几何题证明思路的探讨

发表时间：2020/9/27 来源：《教学与研究》2020年9月上作者：万代兵

[导读] 在教育改革不断深入的背景下，初中数学教学中，以几何一题多证为代表的教学方法，成为促进学生思维发展、提升学生思维能力的有力手段。

重庆市第七十一中学万代兵 400030

        在教育改革不断深入的背景下，初中数学教学中，以几何一题多证为代表的教学方法，成为促进学生思维发展、提升学生思维能力的有力手段。在初中数学阶段，三大几何变换，即轴对称、平移及旋转，拥有非常重要的地位，很多几何问题的证明都与这三大几何变换有关.本文就试图从轴对称及旋转这两大几何变换的角度，来探讨多种不同的证明思路，力求在教学中，能够从不同的角度打开学生的思维，促进学生思维能力发展与提升。
       题目呈现：
       如图1，在△ACB中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于点D.
       求证：BC = AD + BD.

                          图1
        此题，从结论的形势来看，是一种典型的和差结构，从这个角度看，很容易联想到“截长补短法”。从条件看，只有三个，但仅从角平先分线，就可以从轴对称（翻折）、旋转、添加平行线构造等腰三角形等角度展开联想；从等腰及特殊的顶角（100°）则可以从构造一些有着特殊角度的角和等腰三角形来。
        本题证明思路众多，其主要原因在于利用角平分线时，运用的几何变换思想的不同.
        一、翻折思想（轴对称思想）
       （一）方法一：如图2.

         一方面，利用角平分线的特性，运用轴对称（翻折）思想，在BC上截取BM=BA，连结DM，由△ABD≌△MBD可知：
        ∠1=100°、∠2=80°、AD=MD；
        另一方面从结论出发，利用截长补短法在BC上截取BN=BD，连结DN；
        再结合BD平分∠ABC、AB=AC、∠A=100°、BD=BN分析可知：∠5=20°、∠3=80°=∠2、∠4= 40°=∠C，进而得到CN=DN=DM=AD，最终得到BC=BD+AD.
       （二）方法二：如图3.
        这种方法其实与方法一非常相似，主要的不同体现在：
        利用角平分线的特性进行翻折时，方法一是将△ABD向下翻折，方法二则是将三角形BDC向上翻折；
        方法一用的是“线段截长法”，方法二用的是“线段补短法”.
        辅助线的添加可叙述为：延长BA至点M，使BM=BC，在BM上截取BN=BD，连结DN，具体分析过程可参考方法一.

      （三）方法三：如图4
        这种方法，也与方法一有些相似，主要的不同体现在：
        构建等腰三角形时，方法一是以BD为基础构建了三个等腰三角形，方法三则是以BC边为基础构建了一个等腰三角形；（2）方法一用的是“线段截长法”，方法二用的既有“线段截长法”，也有“线段补短法”；
        辅助线的添加可叙述为：在BC上截取BM=BA，连结DM，延长BD至点N，使BN=BC，连结DC.
        其主要思路为：证明△ABD≌△MBD得到AD=MD，证明△MCD≌△NCD得到DN=DM，再由等腰三角形BC=BN即可得出结论.

        二、旋转思想
        在涉及角平分线的问题中，利用“轴对称思想”构造全等更普遍一些，但并不意味着仅仅只能利用“轴对称思想”构造全等，利用“旋转思想”依然能够构造全等解决问题。
       （一）方法七：如图5
       在这种方法中，由于BD为∠ABC的角平分线，故∠ABD=∠CBD，以此为基础，则可将△CBD绕点B旋转得到△NBM，同时由于等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，故连结DM，可构造出两个等腰三角形：△AMD和△NDM.
       辅助线可叙述为：延长BD至点N，使BN=BC，延长BA至点M，使BM=BD，连结MD.
       其证明思路为：先证明△BDC≌△BMN得到∠N=∠C=40°，再结合AB=AC，∠BAC=100°等条件，可证得△AMD和△MND为等腰三角形，得出AD=MD=ND，进而得出结论。

       （二）方法八：如图6
        在这种方法中，由于BD为∠ABC的角平分线，故∠ABD=∠CBD，以此为基础，则可将△ABD绕点B旋转得到△MBN，同时由于等腰三角形ABC中，∠BAC=100°，故连结DN，可构造出两个等腰三角形：△CND和△NDM.
        辅助线可叙述为：在BC上截取BN=BD，在BD上截取BM=BA，连结MN、DN.
        其证明思路为：先证明△BDA≌△BNM得到MN=DA，再结合AB=AC，∠BAC=100°等条件，得证△NMD和△CND为等腰三角形，得出AD=MN=ND=CN，进而得出结论。