霍明明
浙江省温州第二高级中学 325000
本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方程等性质之后，探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质——渐近线，进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理，并应用双曲线的渐近线，辅助画出双曲线，理解离心率的大小对双曲线张口大小的影响。
传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内，与椭圆性质进行类比的方法来教学，我认为双线的渐近线是双曲线的特性，并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式，很适合在网络环境下自主合作探究学习。所以把这部分内容作为单独的研究性学习的课程来进行教学。
问题一：双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组，不同学生可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义？
生答：（课本中是从图中可以看出，双曲线
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的各支向外延伸时，与两直线
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逐渐接近故称之“渐近”，按目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交。也可以这样理解，当双曲线上动点M沿着双曲线无限远离中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于零。我们把两条直线
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叫做双曲线的渐近线。
我们阅读课外参考书时，知道渐近线有比较严格的定义：若曲线的上的某点到某直线的距离为d，当点趋向无穷远时d能趋近于0，则这条曲线称为该曲线的渐近线。按我们目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交，这就是渐近线的特点。当双曲线的各支向外延伸时，与渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，要多近有多近；也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于0。我们在初中学过的反比例函数y=1/x图像，其中x轴即为它的渐近线；还有正切函数y=tanx的图像，
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也是其中一条渐近线，又如函数y=x+1/x的渐近线中，有一条是直线y=x.
问题二： 如何用量化的方法来证明一条直线是双曲线的渐近线？为什么课本中渐近线不按定义来证明？在证明过程中，哪些地方体现了数学的“化归思想”？
生答：如果按定义来证明，若把曲线看成点的轨迹，就要证明动点到直线的距离d越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线的距离表示出来，即通常所说的目标函数，然后看它是否趋向于零。但是目前我们还无法求解，因此，我们把倾斜的线段MQ的计算，转化成竖直线段MN的计算。
先取双曲线第一象限内的部分进行整理，这部分方程可写为
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,设M（x,y）是它上面的点，N(x,Y)是直线y=
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x上与M有相同横坐标的点，即Y=
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x。
这是投射法，体现了数学中降维的转化思想（这在第七章学习点到直线距离公式时就已学过）这是第一点；为了让|MN|更简单，即把绝对值符号去掉，又进行了一个估计，Y与y的大小问题。
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对于目标函数|MN|来说，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，x+
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也无限增大，|MN|接近于0，而|MQ|是RT△MNQ的斜边，|MQ|>|MN|也随之接近于O，即证明了，双曲线在第一象限部分的射线ON的下放逐渐接近于射线ON。在其他象限内也可证明类似的情况。
问题三： “列表描点，画双曲线
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”时，如何检验画出的图形是否正确？（特别是表格外的其余点是否画得对），由此你能得出双曲线的渐近线在画图时起了什么重要的作用？
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生答：利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。
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问题五：根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程
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生答：根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：
（1）画出以实轴长，虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定。
（2）如果给出的双曲线方程为
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（a>0,b>0）。将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再由此推出y=kx的形式。
其渐近线方程为
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，但是对于
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（a>0,b>0）来说，其渐近线方程则为
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。
从某种意义上说，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线退化成它的渐近线。
问题六：已知双曲线的渐近线方程，其对应的双曲线方程是唯一的吗？若不是，它们有何共同特点，请用曲线系方程表示。
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我们在数学教学活动中要以发展的观点来认识和进行基本知识和基本技能的教学，有意识地通过数学知识的学习过程使学生感悟 数学的思考方式；要通过数学推理过程培养学生说理、批判、置疑、求真求实的理性恩维和理性精神；通过数学问题的解决培养学生提出问题、分析和解决问题的能力，进而发展学生的应用意识和创新精神，以及在解决挑战性大的问题中培养学生克服因难的顽强意志和锲而不舍的精神；等等。我们的学生在未来的人生历程中，即使有很多不是以数学为事业，也不从事数学或数学教育的作，会忘记具体的数学内容，但是，数学留给他们的思考方式、留给他们的精神和态度、意识和观念，他们终身受益，使他们学会认知（学习）、学会合作、学会生存、学会做事，为促进他们终身学习和终身发展奠定良好的基础。