唐震
福建省三明市第九中学 365000
第二届国际数学教育大会成立“数学史与数学教学关系国际研究小组”即广为人知的“HPM”以来,高中数学课堂开始关注如何在课堂教学中融入数学史等研究。用HPM视角引导学生学习数学，即将数学史引进到教学当中，让学生以历史的角度看待一个数学问题的提出、数学问题的演变、数学问题的应用等。教师如果应用这种方法引导学生学习知识，能让学生深入地理解探索数学知识的重要意义、拓展数学知识系统的整个过程及人们逐步完善数学知识系统的方法；如果教师能够引导学生以HPM的视角纵向了解某个数学知识，学生将会以该数学知识为中心，形成一套完善的数学知识系统。为了更好的借鉴数学知识的发生发展，在现历史上的数学思想方法，下面将给出“弧度制概念”一节HPM微专题课例。
1.弧度角的定义
教师可以这样引入：平面几何里我们都学习过角的度量，我们知道周角的
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等于是1度角并且
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，这种60进制起源于古巴比伦，为什么他们会将圆周分成360等份而采用这样的进制来表示角的大小？这在数学史上还是一个谜。但有一个事实应该值得我们注意：当一个圆周等分为六份时，即圆心角是
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时，每一个圆心角所对的弦长都等于半径.
我们知道，圆心角的大小及其所对的弧的长短是成正比的。而数学家们最初就是以弧为自变量来定义、研究三角函数的。这样很自然地就出现了这样的思考：长度等于半径的弦所对的圆心角的特殊角是
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，那么长度为半径的弧所对的圆心角是否也是一个特殊角？这个角与圆半径大小相关吗？
2.弧度的记号
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数学符号发展演变的历史可以帮助学生更好地理解弧度的单位。弧度的概念是数学家定义了正弦函数、余弦函数和正切函数之后很多年才提出的。“弧度（radian)”一词，是爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（James Thomson)在1875年首先创造使用的，由半径（radius)和角（angle)两个英语单词组合而成。1935年，我国《数学名词》把radian译为“弪”（弧和径两字合成，读jing),这表明圆心角的弧度数是由弧长！和半径r共同决定的。1956年版的《数学名词》废除此字，定义为“弧度”。
弧度的符号表示在历史上也几经变换。1881年霍尔斯特德（Halsted)用p表示弧度单位；1909年霍尔（Hall)等用R表示；1907年鲍尔（Bauer)用r表示。直到1925年朗尼（Loney)的《平面三角》还用表示。近几十年来，数学家却习惯将表示弧度的符号省去不写.
在此，教师要强调：弧度和角度一样，都是角的度量单位的，不要以为略去单位符号之后，它等同于相应的数，比如1弧度不等于实数1.
3.弧度制的发展演变
以弧度为单位度量角的单位制就称为弧度制。其实角的度量在历史上有很多进制。比如法国采用的是10进制，他们把一个直角分为等份，每份叫1百分度（grade),记做
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,
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的
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叫做1百分分；还有以1弧度角的作为
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单位叫做毫弧度。为了使用方便取其近似值，周角的
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（苏联制）或
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（英美制）作为量角的单位，这叫做密位制…可见，角的度量不仅仅只有角度制和弧度制，但这两者却是使用范围最广的。角度制是六十进制，但使用直观方便，弧度制却采用了十进制，与数学上的十进制数统一了起来，便于相互转化和计算。但是同一个问题中使用两个不同的单位是很不方便的。如果有人给出一张桌子的尺寸是：长1米，宽2英尺，我们一定说他是自找麻烦。然而人们对“
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”这样的表达式却习以为常：左边角度是进制，右边却是10进制数。
历史上，很多数学家进行了统一进制的工作。古希腊的希帕恰斯（Hipparchus,公元前180~公元前125)把圆的半径分成60等份，按照60进制把半径的每一份继续往下分60等份，等等。以半径
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的为单位（p），将已知角所对应的弦长用该单位来度量。如直角所对的弦长约为
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,即个单位长
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，后来的托勒密制弦表时亦沿用此法。
印度的阿耶婆多（Aryabhata,476-550?)把半径的
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作为度量弧（也就是圆心角）的单位，制作了第一象限内每隔
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的正弦差值表。3438是这样得到的：他把圆周360x60的等分定为单位（整个圆周所含的分）即整个圆周长是
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，由上式可以推得
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，小数部分四舍五入就有显然，阿耶婆多的做法就含有弧度制的思想。
1748年，欧拉（Euler,1707~1783)在他的名著《无穷小分析引论》中主张用半径为单位来量弧长。设半径等于1,那么半圆周的长就是w,所对的圆心角的正弦值等于0,即
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.同样
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圆周长是
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，所对的圆心角的正弦等于1,可以记作
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.这就是现在使用的弧度制.显然，弧度制统一了角和长度的单位。
4.HPM观点下引入“弧度制”的优点
弧度制可以简化公式，如求圆弧长只要将弧所对圆心角的弧度数乘以半径得到。但这里常存在一个误区：很多人认为弧度制的引入是为了使三角函数的自变量和实数建立一一对应关系。其实不然，三角函数的自变量既可以认为是角也可以认为是实数。有了弧度制，角的表示可以和数轴上的实数建立一一对应的关系，但并不是只有引入了弧度制，才把三角函数的自变量解释成实数。其实无论是进制还是进制，角的集合都可以和实数集建立一一对应关系。例如，在角度制下任意给出一个大小为的角，其度数和实数对应。反之，任意一个实数,由于旋转是连续的，可以取的角与之对应。这样，三角函数仍然是实数的函数。因此，角的集合和实数集合产生一一对应关系的关键并非弧度制。
5.结语
引导学生从HPM的视角看待数学知识，并不是单纯地为了让学生了解数学的历史，而是要让学生从历史的角度深刻地了解数学知识产生、深入地探索数学知识的发展演变、系统地掌握学习数学知识体系，同时让学生深入地理解某一个重要的数学知识以后，能够由这个数学知识为核心自主地学习与之相关的其它数学知识。应用HPM视角引导学生学习，能够培养学生追寻科学、追寻真理的精神，激发学生学习数学的兴趣，提高学生认识事物的能力。通过HPM视角下高中数学教学中的探索和实践，摸索课堂教学中融入数学史的模式，形成融通式教学、浸润式教学和创生式教学等课堂教学模式，在教学的各个环节融入数学史，重构教师和学生完善的数学知识系统。
本文为福建省“十三五”规划2019年课题 ——基于HPM视角下的高中数学系列微专题开发研究（FJJKXB19-478）成果。