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匀速圆周运动中的机械能守恒问题李学生

发表时间：2020/10/9 来源：《论证与研究》2020年8期作者：李学生

[导读] 摘要：解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了对所有的参照系，匀速圆周运动物体机械能都守恒的结论．关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒

                                                                      李学生
                                   （山东大学物理学院山东济南 250100）
        摘要：解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了对所有的参照系，匀速圆周运动物体机械能都守恒的结论．
        关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒
        如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，问：小球在地面系（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O1-x1y1)，机械能是否都守恒？

       图1 匀速圆动物体机械能守恒问题新解
        解析：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.
        1.在地面上观察时，以点o为坐标原点，以过点o且平行于小车运动的方向为x轴正向，建立平面直角坐标系如图1所示．由于向心力和位移始终垂直，有：

根据保守力的定义可知在地面系匀速圆周运动物体受到的向心力是保守力．

        定理：质点做匀速圆周运动的约束力是一个保守力，可以同时改变质点的动能和势能，但不改变质点的机械能.
        当小车相对于地面变速运动时，只需要增加一个惯性力即可，文献[1]已经证明了所有惯性力都是一个保守力，只需引入惯性力势能即可，此时机械能依然守恒，这也验证了爱因斯坦的思想——物理规律对于所有的参照系都相同.
        有些分析力学教材认为光滑约束中约束反力与实位移垂直，约束反力不做功，这是不完善的，因为约束反力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功.对于非惯性系，只需增加一个惯性力即可，也不改变机械能，所以完整的表述为——光滑约束中约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的参照系了.
        有的力学教材中有这样一个实例——在一个相对于地面匀速上升的电梯底部静止放置一个物体（视为质点），在电梯内的观察者看来，没有任何力对质点做功，动能和势能（取电梯的底部为势能零点）均为0，机械能守恒；在地面的观察者看来，电梯底部对于质点的支持力做功，动能不变，势能不断增加（取地面为势能零点），机械能不守恒.其实这种分析是错误的，在这里约束力是一个保守力，质点受到合力为0，总势能不变，因而机械能不变，在这个问题中机械能守恒定律满足力学相对性原理.
        说明：1.我们知道保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力[2]（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力[3～4]、匀速圆周运动的约束力、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）、弹性碰撞中的弹力以及浮力等，文献[4]证明了在自由落体运动中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[3]证明了在斜面问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[5～6]说明弹性势能机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[7]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换，当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献[8]提出了约束力是保守力，文献[9]验证了约束力是保守力.
        2.在本题中约束力是弹力，约束力和保守力是同一个力，类似于弹簧振子，轻绳可以看做劲度系数是无穷大的弹簧，忽略形变.只要质点受到保守力弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，文献[10]的观点是正确的.
        3.不少作者利用匀速圆周运动说明质点在运动过程中机械能不变，但是没有动能和势能的转换，不是机械能守恒[11～12]，这种观点是错误的，机械能守恒就是机械能不变，机械能守恒定律是人们对于大自然规律的刻画，这样有更大的适用范围.在静止系动能和势能没有转换，在运动系有转换.机械能守恒定律中不必强调动能和势能的转化，只需说明机械能不变即可.美国物理学家Holton G曾这样论述:“在某确定环境中相互作用的一组物体无论发生什么样的变化，它的这种或那种可测度的量(质量、动量、能量或电荷) 的总和在整个观察期间都是恒定不变的.”[13]
        参考文献：
        [1]李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318～319.
        [2]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113～114.
        [3]张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115～117
        [4]赵文桐，刘文芳，刘明成．重力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(3)：96～98．
        [5]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷[J]．物理通报，2014(9)：119～120．
        [6]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109～111．
        [7]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123～124．
        [8]马忠义.物体在约束运动中的功和能.沈阳化工学院学报，1989（3）2：117～122.
        [9]李有为.受光滑约束系统的机械能守恒问题.郑州工学院学报，1989（9）：91～94.
        [10]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237～238.
        [11]李庆国.机械能守恒吗？——对“机械能守恒定律”几种错误理解的讨论[J].物理教学探讨，2010，28（6）：39～40.
        [12]张寅静，丁姗.关于机械能守恒定律条件的讨论.河南纺织高等专科学院学报，1999（9）：31～33．
        [13][美〕HoltonG，张大卫译.物理科学的概念和理论导论.上册.第1版.北京:高等教育出版社，1983：338.