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浅谈高中数学教学例习题的功能

发表时间：2020/10/14 来源：《中小学教育》2020年9月3期作者：黄勇

[导读]

黄勇德阳教育科学研究院四川德阳 618000
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2020）09-123-02

        德国数学家第斯多惠说过：教学的艺术不在于传授知识的本领，在于激励和唤醒学生沉睡的思维。在著名的美国西点军校，开设了许多高深的数学课程，其目的并不在于未来的实践指挥中要以这些数学知识为工具，而是要通过这些严格的数学训练，使学员们在军事行动中，能把那种特殊的活力与灵活的思维结合起来，从而为他们驰骋疆场打下坚实的基础。数学教学是数学思维活动的教学，数学学习是通过思考进行的，没有学生的思考就没的真正的数学教学。下面谈谈高中数学教学中例习题的功能，以便在今后的教学中充分发挥好这些功能，以达到举一反三、事半功倍的效果。
        一、激发内能，让学生的思维处于活跃状态
        三千多年前，古希腊生物学家、散文家——普多希戈说“人脑不是可以灌注知识的容器，而是一个可以点燃的火把”。是的，教师的义务是点燃火把，让学生自己去燃烧。只有这样他们才有更大的收获。就是讨论式教学法都应留给学生足够的“空白时间带”，以保证学生有充分的时间去思索。学生连珠炮式的发言，势必影响相当一些学生（特别是程度较差的学生）的主动思考，而成为旁观者，这样对他们来说并没什么收获。因此无论如何都应多给学生思考，多给时间去体验。把主动权交给学生吧，教师不仅要有传授知识的艺术，更要懂得煽情的艺术，激发学生内驱力的艺术。“费马大定理”是17世纪法国数学家，费马留给后世的一个不解之谜。这个谜曾经吸引和困惑了世界上无数的智者，难倒过许多杰出的大数学家。直到358年之后的1995年，这个难题才终于被英国剑桥的数学家安德鲁•怀尔斯攻克了。是谁要求这些数学家去做这件事呢？没有，显然是他们的内驱力的作用！事实上，学生的内能一但被激发，定能产生火花，教师仅管不断的加油，这时火把一定会不停地燃烧！需要你花时间不停的激发，也需要沉静，需要沉静后的再次迸发，请你相信，当他们的内能一次一次的被激发后而迸发的能量是巨大的。
        二、培养学生良好的阅读习惯
        《中国大百科全书》（教育卷）认为：“阅读是一种从印的或写的符号中取得意义的心理过程。”而数学阅读是指围绕数学问题或相关材料，以数学思维为基础和纽带，用数学方法，观念来认识、理解、汲取知识和感受数学文化的学习活动。数学阅读是精读而不是泛读。苏霍姆林斯基说过：“让学生变聪明的方法就是阅读，阅读，再阅读”。这里所说数学思维更多的层面应体现为理性思维，只有具备了良好的理性思维能力才能进行较好的数学阅读，反之，在我们的数学教学中，重视数学问题并形成良好的阅读习惯和意识，可极大地提高学生的理性思维能力。下面以函数单调性一节为例，阐述如何培养学生良好的阅读习惯，从而提高学生理性思维能力。
        问题1 定义：设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有（或），那么就说函数在区间D上是增函数（或减函数）。区间D叫做的单调区间。
        （1）培养抠读词句的习惯
        对数学材料中的字、词、句要习惯去找关键词。把握每一个细节内容。如上述概念中要弄清楚定义域I内、某个区间D、任意两个自变量、都有等叙述的含义及精确性。
        （2）培养归纳总结的习惯
        师生在反复抠读材料后，要对材料内容进行抽象、归纳、提炼总结，抓住其本质内容。如上述材料中，通过归纳总结，不难得出：1°单调性立足于函数定义域的某一子区间。相对定义域而言，单调性往往是函数局部性质，而对这一区间而言，单调性又是函数在这一区间的“整体”性质，因此定义中的具有任意性，不能以特殊值代替。2°函数在区间D上递增（或递减）与的图象在区间D部分（从左向右）的上升（或下降）是一样的。3°如何应用（略）。
        （3）培养学生有反思变式习惯
        为了帮助学生充分理解概念，促成知识向能力的转化，启发学生对函数单调性定义中的三个条件进行重新组合，得到两种变形，从而加强学生理性思维能力培养。
        变式1：如果函数在定义域内的某个区间上是增函数（或减函数），这个区间的任意两个值，当时，有（或）。
        变式2：如果函数在定义域内的某个区间上是增函数（或减函数），这个区间的任意两个值，若有，则（或）。
        （4）培养拓展延伸的习惯
        在材料弄清后，要培养学生不断拓展延伸习惯，进而巩固旧知，发现新知。
        比如：教师可引导学生提出问题串。

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        1）复合函数的单调性问题
        2）如果在区间、上都递增，能得出在区间上递增吗？
        3）如果在区间、上都递增，能推出在区间上递增吗？
        4）如果在区间、上都递增，能推出在区间上递增吗？
        三、加强变式教学、训练学生理性思维
        在“数学问题”的解决过程中，通过变式教学，寻求一题多解或多解一解等形式，有助于学生能力的培养，在解决问题活动中，学生可以通过观察、比较、记忆、想象等思维活动，不断完善思维品质，通过解题可培养学生的思维灵活性、深刻性、批判性、严谨性及广泛性和创造性，进而培养了学生在新情境问题中冷静分析、理性思考的习惯。
        问题2：已知异面直线a与b所成的角为50°，p为空间一定点，则过p点且与a、b所成角都是30°的直线l有且仅有（    ）条。
        本题是寻找过p点与直线a、b都成30°的直线l的条数，直接画图显然有些不踏实，必须找到理论依据，这正是我们所说的“理性思维就是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式”。
        解答：过p点分别作直线，则与相交于p点且成50°，如图，过p点作直线l，在上分别取一点，则l在面APB上的射影为的平分线，易知. 那么由知，满足题意的直线l有且仅有2条。
        为了更清楚地知道与的大小与直线l的条数有什么依赖关系，可作如下变式：变式1：50°不变，设过p点的直线l与直线a、b所成角为.
        （1）当时，满足题意的直线l只有一条，就是的角平分线。
        （2）当时，此时，这样的直线不存在。
        （3）当时，这样的直线有2条。
        （4）当时，这样的直线l有3条，其中一条是的角平分线。
        （5）当时，这样的直线有4条。
        （6）当时，这样的直线只有1条。
        变式2：不变时，设.
        （1）若时，满足条件的直线l为2条。
        （2）若时，满足条件的直线l为1条。
        （3）若时，此时，这样的直线不存在。
        通过这样的变式，我们会清楚地看到，是否存在这样的直线，关键是条件是否成立（理论依据），直线l的多少条要看、及的关系。
        通过问题的变式，学生学会了冷静分析问题，理性思考问题，这样他们在遇到问题的时候才会不急不燥，而是全方位、多角度地寻找依据，寻找解题的思路，才会抓住问题的实质，而不是盲目的进行瞎碰，造成做题质量不高，而陷入题海之中。
        四、培养学生观察、联想转化的意识
        在数学教学中，教师要特别注意培养学生观察能力，它是培养学生综合数学能力的前提，要特别注意那些连问题还没看明白就贸然行动解题的学生，要让他们养成认真观察题目的条件和结论的习惯，并通过具体的例题使他们体会到仔细观察、认真审题的效果，一般来说，观察多从问题的条件的特点入手，从观察已知和未知的关系入手，从观察分析条件的隐含关系入手，然后全面地、多角度地、多层面地、逻辑有序地进行联想与转化，从而解决问题，只有不断地进行透过事物诸多纷繁的现象进行分析、综合，上升到事物的本质的理论认识活动，学生的学习活动体验才能从感性上升到理性的飞跃。
        深入分析题目中式子的形式、结构特征，联想它们与我们熟悉的那些公式、定理、结论的特征有哪些相同和不同的地方.若相同是否可以直接利用，若不同，是否可以通过变换后，结构相同而利用呢？如著名的柯西不等式：的结构就类似我们熟悉的形式.于是产生证明方法构造函数恒成立.这是大家都非常熟悉的事情。再如：我们看到就会联想到点P（、）到直线的距离.看到可联想到轴上P（，0）点到两定点A（1，2），B（，1）的距离之和.看到求的取值范围可以联想到求直线纵载距的取值范围，看到比较与的大小时就可以联想到的单调性等等.
        我们深知，问题是数学的心脏，能成功地解决一个数学问题是一件非常愉快的事，但我们也坚信通过努力未能解决问题并不代表没有收获.无数的数学家为攻克费马大定理献出了毕生的精力，而绝大多数的数学家都未找到证明定理的办法，你能说他们没有收获，没有成就吗？事实上在解决数学问题过程对人的各种能力的培养才是关键.
参考文献
[1]《数学教育哲学》南京师大郑毓信著.
[2]《中学数学教学基本功》包文华著辽宁师范大学出版社.