卢春成1、潘渊茹2、吴怡3
（1.华北理工大学 数学建模创新实验室，河北 唐山 063009；2.华北理工大学 理学院，河北 唐山 063009）
摘要：为了评价我国全面实行二胎政策的效果，采用了Leslie人口预测模型，从实施二胎政策未实施二胎政策两方面来对问题进行分析。结果表明：通过MATLAB实现Leslie人口预测模型预测未来20年各年龄段男性的人口总数。进而计算并分析实行政策前后人口总数，劳动人口占比和老龄化程度的变化情况，评价该政策的短期效果。最后，我们以实行二胎政策时的国家统计局数据和建立的Leslie模型为基础，可以从性别比例，城乡人口比例和老龄化程度这三个方面来考虑，对我国2035年的人口结构进行预测。该成果对我国人口老龄化，男女比例失调等问题具有一定的参考价值和指导意义。
关键词：人口预测模型 Leslie矩阵 二胎政策 回归拟合
1 Leslie人口预测模型的建立
我们将人口按年龄大小等间隔划分成个，构建Leslie模型[1]讨论在不同时间段人口年龄结构。我们以男性为例，首先对时间离散化，时间离散化为t=0,1,2…n，设时间段t第年龄组的男性人口总数为，，定义向量,该模型通过研究男性的人口分布随的变化规律，进而研究各年龄段人口数等指标的变化规律。设第年龄组男性的死亡率为，即是第年龄组男性死亡人数与总人数之比，则称为存活率。已知为出生人口性别比例，则可以定义参数，
设，不随时间变化，根据，和的定义，以及与之间关系，则可以构建关于男性生育率[2]和存活率的矩阵为:
(1)
以男性为例，则可得到公式：
(2)
(3)
若(2)中的元素满足如下
;,且至少有一个
则矩阵称为Leslie矩阵。因此要求出时间段的人口分布向量，只需求出矩阵和人口分布的初始向量。
2 Leslie人口预测模型的求解
2.1分析男性人口数
我们以五岁为间隔对男性进行分组，将男性分为组（i=20），将得到的2015年各年龄段男性总人口作为初始向量的元素。我们通过国家统计局的数据[3]，可知各年龄段男性死亡率。可计算得到男性存活率。由于男性不能生育，其生育率为零，因此将“第个年龄段平均每个女性生育男孩的数量”作为男性人口Leslie矩阵的元素。我们通过已知的出生人口的性别比，可计算参数
因为
表示第个年龄段平均每个女性生育孩子的个数，既包括生男孩，也包括生女孩。而
代表生育男孩的概率，则
即表示第个年龄段平均每个女性生育男孩的数量。根据和可构建男性人口Leslie矩阵，并结合初始向量
。可得到对任意
有
可由MATLAB求解得到在未实行二胎政策的情况下，未来20年的各年龄段男性人口总数
将未来20年各年龄段男性和各年龄段女性的相加，得到在未实行二胎政策的情况下，未来20年人口总数如下表：
表1 未实行二胎政策未来20年人口总数
Tab 1 The total population in the next 20 years without the two-child policy
2.2 实施二胎政策
2.2.1分析男性人口数
我们以同样的方法，五岁为间隔对男性进行分组，将男性分i为组（i=20），将得到的2015年各年龄段男性总人口
作为初始向量的元素。与未实行二胎政策时的研究思路相同，将“第i个年龄段平均每个女性生育男孩的数量
作为男性人口Leslie矩阵的
元素。在实行二胎政策下的女性生育率为
，结合参数，可以表示出“第个年龄段平均每个女性生育男孩的数量”为
。因为是同一年份，所以存活率
。由
可构建在实行二胎政策下的关于男性的Leslie矩阵
。已知
对任意
有
可由MATLAB求解得到在实行二胎政策的情况下，未来20年各年龄段男性人口总数。
将未来20年各年龄段男性和各年龄段女性的相加，得到在实行二胎政策的情况下，未来20年人口总数如下表：
表2 实行二胎政策未来20年人口总数
Tab 2 The total population in the next 20 years with the two-child policy
3 评价二胎政策的短期效果
3.1对劳动力人口占比的分析
为方便分析，我们将各年龄段男性和女性总人口根据年龄段重新划分，划分为儿童段（0-14岁），中年段（15-64岁），老年段（64-100岁）。在模型的求解中，我们计算得到未来的20年各年龄段的总人口，由此可分别计算儿童段，中年段，老年段总人口。我们假设劳动人口即为中年段人口，可得出劳动人口所占比重。计算将实行和未实行二胎政策2020~2035年劳动人口占比
分析数据，我们不难发现，实行二胎政策后劳动人口占比不增反降，这显然不合常理。经过对问题的分析，我们发现，劳动人口占比受总人口影响。实行二胎政策，出生人口大幅增加，计算2020~2035年，实行和未实行二胎政策两种情况下的儿童数量
通过观察数据，我们可知，出生人口的增加，使实行二胎政策时的劳动人口占比低于未实行二胎政策时的数据。我们可得知实行二胎政策在短期内并不能改变劳动力人口下降的趋势。由计算得到未来的20年各年龄段的总人口，可计算老年段人口数量，用老年段人口数量除以总人口数，即为老年人占比。计算实行和未实行二胎政策2020~2035年老年人口占比数据，可知实施二胎政策在短时间内使老年人口占比下降。
结合以上定量分析，我们可以从总人口、劳动人口占比、老龄化程度这三个方面来评价二胎政策。二胎政策在短期内会使总人口数增加，但并不能改变劳动力人口下降的趋势。在缓解人口老龄化程度上，在短期内收效甚微。
参考文献：
[1]石敏军, 张佛德, 张晓鹏. 优化的Leslie人口预测模型及其应用[J]. 计算机技术与发展, 2013(9):258-260.
Shi Minjun, Zhang fode, Zhang Xiaopeng. Optimized Leslie population prediction model and its application [J]. Computer technology and development, 2013(9):258-260.
[2]王彦,马伯强.20世纪80年代以来我国人口发展的数学模型和展望[J].北京大学学报(自然科学版),2003(S1):28-33.
Wang Yan, Ma Boqiang. Mathematical model and prospect of population development in China since 1980s [J]. Journal of Peking University (natural science edition),2003(S1):28-33.
[3] 中华人民共和国国家统计局.《中国统计年鉴—2015》[EB/OL].2015—10—13.
National Bureau of Statistics, PRC. China statistical yearbook -- 2015 [EB/OL].2015 -- 10 – 13.
[4]中华人民共和国中央人民政府.国务院关于印发“十三五”卫生与健康规划的通知[Z].2017—01—10 .
The Central People's Government of the People's Republic of China. Notice of the state council on printing and distributing the hygiene and health plan for the 13th five-year plan [Z]. 2017-01-10
http://www.gov.cn/zhengce/content/2017-01/10/content_5158488.htm